§6. Изоморфизм аффинных пространств

Пусть имеется отображение аффинного пространства на аффинное пространство , при котором для точек M, N A_n = (M), = (N), причем – некоторое отображение векторного пространства на векторное пространство : : .

Определение 1: отображение называется ассоциированным с отображением , если при любом выборе точек M и N оно отображает вектор на вектор :

= ( ).

Определение 2: взаимно однозначное отображение аффинного пространства A_n на аффинное пространство называется изоморфизмом, если существует ассоциированное с ним изоморфное отображение пространства на пространство (оно биективно и ( + )= ( )+ ( ), (k ) = k ( ) – линейно).

Определение 3: аффинные пространства A_n и называются изоморфными, если существует изоморфное отображение одного из них на другое: ( ) = или .

Теорема (Признак изоморфизма аффинных пространств): для того, чтобы два аффинных пространства и были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы их размерности были одинаковыми.

□ Необходимость. Пусть пространства и изоморфны, тогда по определению ( 2 ) связанные с ними векторные пространства также изоморфны и поэтому имеют одинаковые размерности; но тогда совпадают и размерности пространств A_n и , то есть n = m.

Достаточность. Пусть аффинные пространства и имеют одну и ту же размерность n, докажем, что они изоморфны.

Введем в этих пространствах аффинные системы координат и устроим биективное отображение пространства A_n на пространство следующим образом: M(x_i) A_n (x_i) x_i = , ( i = 1, 2, …, n ).

Покажем, что отображение есть изоморфизм.

Рассмотрим отображение пространств и , связанных с A_n и , при котором соответствующими считаются векторы, которые имеют во введенных аффинных системах одинаковые координаты. Это отображение является ассоциированным с отображением . Действительно, пусть образами точек M(x_i) и N(y_i) при отображении являются соответственно точки ( ) и ( ). Так как x_i = и y_i = , то имеем: =(y_i - x_i)=( - )= то есть вектор является образом вектора при отображении .

Докажем, что - изоморфное отображение на . Так как оно биективно, то достаточно убедиться в его линейности.

Пусть , , тогда , , a так как и , то , следовательно, вектор является образом вектора при .

Аналогично, образом вектора является вектор . Итак, отображение : - изоморфизм. Согласно определениям (2) и (3) пространства и изоморфизмы. ■

§7. Аффинные преобразования

Определение 1: аффинным преобразованием аффинного пространства называется его изоморфное отображение на себя.

Замечание 1: изоморфное отображение векторного пространства на себя является его линейным преобразованием. Поэтому можно также называть аффинным преобразованием такое преобразование пространства , для которого в связанном с векторном пространстве существует ассоциированное линейное преобразование.

Замечание 2: так как преобразование, ассоциированное с аффинным, является линейным, то оно сохраняет линейную независимость векторов: линейно независимая система векторов отображается также на линейно независимую систему векторов с сохранением коэффициентов. Например, если

и векторы отображаются соответственно на векторы , то

Поэтому любой базис векторного пространства , связанного с , отображается также на некоторый базис этого пространства , а подпространство пространства отображается на некоторое подпространство той же размерности.

Теорема 1: при аффинном преобразовании пространства любая плоскость отображается на плоскость той же размерности, причем сохраняется параллельность плоскостей.

□ 1) Плоскость , натянутая на точку и подпространство , есть множество точек, получаемых при откладывании от точки всех векторов из . Аффинное преобразование отображает точку на некоторую точку , а ассоциированное с ним векторное преобразование отображает на некоторое подпространство , следовательно, плоскость отображается на некоторую плоскость , натянутую на и .

2) Если ассоциированное с аффинным векторное преобразование отображает подпространства и соответственно на и , причем , то имеем , то есть из следует - параллельность плоскостей сохраняется. ■

Теорема 2: при аффинном преобразовании пространства всякая аффинная система координат отображается также на некоторую аффинную систему координат , а любая точка отображается на точку с такими же координатами в системе .

□ 1) Пусть данное аффинное преобразование отображает начало координат на некоторую точку , а ассоциированное с ним векторное преобразование отображает векторы базиса на некоторые векторы . Так как векторы также образуют некоторый базис пространства , то имеем аффинную систему координат и первая часть теоремы доказана.

2) По определению координат точки имеем: , но векторное преобразование, ассоциированное с данным аффинным, не изменяет коэффициентов , поэтому .

Таким образом , то есть числа являются координатами точки в системе . ■

Замечание 3: определить аффинное преобразование можно и по-другому, например: аффинным называется преобразование, отображающее 1) любую прямую также на прямую и 2) сохраняющее простое отношение точек, то есть число такое, что . При этом можно доказать эквивалентность двух определений аффинного преобразования. Требование (2) может быть доказано как теорема.