§5. Взаимное расположение многомерных плоскостей

Рассмотрим в аффинном пространстве две плоскости и , где , с направляющими подпространствами и .

Определение 1: плоскости и называются параллельными, если направляющие подпространства одной из них (меньшей по размерности) содержится в направляющем подпространстве другой плоскости.

.

Определение 2: если плоскости P_r и Q_s не параллельны и имеют хотя бы одну точку, то они называются пересекающимися.

Определение 3: если плоскости P_r и Q_s не параллельны и не имеют общих точек, то они называются скрещивающимися.

Теорема 1: если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть плоскость, направляющее подпространство которой является пересечением направляющих подпространств этих плоскостей. [3], §4, c.18, Т.1.

□ Пусть P_r натянута на точку А и подпространство V_r, а Q_s натянута на точку B и подпространство W_s. Пусть C P_r ∩ Q_s – их общая точка, обозначим V_r ∩ W_s = U_p, а Т_р – плоскость, натянутую на C и U_p.

Докажем, что T_p = P_r ∩ Q_s.

1) Пусть M T_p, тогда U_p = V_r ∩ W_s, значит V_r и W_s, то есть M P_r и M Q_s, поэтому M P_r ∩ Q_s.

2) Обратно: если M P_r ∩ Q_s, то M P_r и M Q_s, откуда V_r и W_s, следовательно: U_p = V_r ∩ W_s, тогда M T_p. ■

Теорема 2: если две плоскости параллельны и пересекаются, то одна из них (меньшей размерности) принадлежит другой (большей размерности). [3], §4, c.19, Т.2.

□ Пусть P_r || Q_s и С = P_r ∩ Q_s, где для определенности r ≤ s. Тогда по определению параллельности V_r W_s. Докажем, что P_r Q_s, то есть что любая точка M P_r принадлежит также и Q_s.

Пусть M P_r, тогда V_r , но V_r W_s, значит W_s или M Q_s. ■

Пример 1: n = 3, A₃ – трехмерное аффинное пространство, r = 1, s = 2, прямая P₁ и двумерная плоскость Q₂.

1) P₁ || Q₂ и не имеют общих точек (в школьных учебниках - параллельны):

2) P₁ || Q₂ и имеют общие точки P₁ Q₂:

В каждом из этих случаев V₁ W₂, причем векторы и базиса подпространства W₂ можно выбрать так, что вектор будет базисным вектором и для подпространства V₁.

3 ) P₁ || Q₂ они имеют единственную общую точку С, найти ее координаты можно, решив совместно уравнения, задающие прямую P₁ и плоскость Q₂.

Таким образом, в A₃ плоскости P₁ и Q₂ не могут скрещиваться (однако, в пространстве A₄ это возможно).

4) P₁ и Q₁, r = s = 1.

и P₁ · Q₂ – скрещиваются.

Заметим, что: .

Пример 2: в пространстве A₅ исследовать взаимное расположение прямой P₁ – оси Ox аффинной системы координат – и плоскости Q₂, натянутой на точку B(-1;0;0;0;0) и векторы (0;1;0;2;0) и

(0;1;0;-1;1)

Решение: 1) Установим, параллельны ли P₁ и Q₂.

Прямая P₁ натянута на точку и третий координатный вектор = =(0;0;1;0;0). Найдем ранг матрицы из координат векторов , , :

~ r=3 векторы линейно независимы,

=2≠0

вектор не может быть линейной комбинацией векторов и значит V₁ W₂ и P₁ || Q₂.

2) Установим, имеют ли эти плоскости общие точки, для чего решим совместно их параметрические уравнения:

P₁: , Q₂: .

Сравним первые уравнения (x₁ = 0 и x₁ = -1), замечаем, что система несовместна, общих точек нет, плоскости P₁ и Q₂ скрещиваются:

P₁ · Q₂.

Замечание: имеет место теорема: для скрещивающихся плоскостей аффинного пространства сумма их размерностей меньше размерности пространства, то есть плоскости P_r и Q_s пространства не могут скрещиваться, если r + s ≥ n.

(Плоскости P_r и Q_s пространства могут скрещиваться тогда и только тогда, когда r + s < n. Если n>1, то гиперплоскости не могут скрещиваться).