§4. Способы задания многомерной плоскости

1º Векторные уравнения.

Пусть в пространстве плоскость натянута на точку и линейно независимые векторы . Тогда по определению она состоит из таких точек , что:

, (1)

где , .

Для трех точек из по аксиоме треугольника II имеем:

или

. (2)

Уравнения (1) и (2) называются векторными уравнениями плоскости .

2º Параметрические уравнения

Пусть в некоторой АСК точка имеет координаты , точка имеет координаты , векторы имеют в базисе следующие координаты:

Тогда, подставляя соответствующие разложения векторов: , , , , …, в уравнение (2) и приравнивая в левой и правой частях коэффициенты при одинаковых координатных векторах, получаем систему линейных уравнений:

(3)

Уравнения (3) выражают текущие координаты точек плоскости с помощью линейных функций от параметров и называются параметрическими уравнениями этой плоскости. В случае для прямой имеем:

(4)

Исключив параметр , получаем:

(5)

При имеем уже знакомые канонические уравнения прямой .

3º Общие уравнения

Исключить параметры из уравнения (3) можно и в случае плоскости любой размерности , .

Опишем этот прием.

1. Какие - либо уравнений из системы (3) разрешим относительно параметров , то есть выразим их через переменные . Это возможно, так как векторы линейно независимы, значит

.

Тогда хотя бы один минор этой матрицы порядка отличен от нуля.

2) Подставим полученные выражения для в оставшиеся уравнений, при

этом получим систему из уравнений с переменными (не обязательно всеми!), не содержащую параметров :

(6)

Так как точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют полученным уравнениям, то уравнения (6) называются общими уравнениями этой плоскости.

Итак, любая плоскость , , в аффинном пространстве может быть задана системой линейных уравнений. В частности, для гиперплоскости : , , то есть она может быть задана одним линейным уравнением.

Замечание 1: так как параметры можно исключить из системы (3) по-разному, то, то одна и та же плоскость , может задаваться различными системами линейных уравнений.

Замечание 2: перейти от системы вида (6) к уравнениям вида (3) и далее к уравнениям (2) и (1) можно в обратном порядке, например, положив: .

Пример: составить различные уравнения плоскости , натянутой в аффинном пространстве на точку и векторы , .

Решение: Так как соответствующие координаты векторов и не пропорциональны, то эти векторы не коллинеарны, следовательно, линейно независимы и являются направляющими векторами пространства , связанного с .

1) , - векторное уравнение.

2) - параметрические уравнения.

3) Из 2-го и 3-го уравнения выразим и : , .

.

Подставим эти выражения в оставшиеся три уравнения:

- общие уравнения.

Другой способ исключения параметров и дает другой результат:

, :