§3. Многомерные плоскости

Пусть – произвольная точка аффинного пространства , а - некоторое подпространство векторного пространства , связанного с (подпространство есть множество векторов, само являющееся пространством относительно заданных на исходном пространстве операций).

Определение 1: множество точек полученных при откладывании от точки

всех векторов подпространства называется r-мерной плоскостью, натянутой на точку и подпространство и обозначается . Подпространство называется направляющим подпространством плоскости .

Выберем в подпространстве какой – либо базис , и будем говорить, что плоскость натянута на точку и векторы . Тогда плоскость можно определить как множество таких точек , что

, (1)

где коэффициенты (параметры) принимают независимо друг от друга всевозможные действительные значения.

Замечание 1: при подпространство - состоит только из нулевого вектора, а плоскость - только из точки . Поэтому любую точку будем рассматривать как нуль - мерную плоскостью

Определение 2: при имеем одномерную плоскость, которую назовем прямой и обозначим . При получим - мерную плоскость, назовем ее гиперплоскостью и обозначим .

Замечание 2: если , то получаем базис всего векторного пространства , поэтому все пространство можно считать n-мерной плоскостью.

Пример: , для пространства введенные выше по определению понятия уже знакомы из школьного курса геометрии (они были там основными, неопределяемыми).

При прямая задается уравнением:

,

При двумерная плоскость , являющаяся гиперплоскостью пространства (в школе она называлась просто плоскостью), задается уравнением:

, .

Определение 3: Множество точек из таких, что равенство (1) выполняется при , называется r – мерным параллелепипедом, натянутым на точку и векторы .

Определение 4: одномерный параллелепипед называется отрезком и задается уравнением:

, .

Точки и , получаемые соответственно при и при , называются концами отрезка.

Если , то получаются внутренние точки отрезка .

Точка , получаемая при , называется серединой отрезка , а точки и называются симметричными относительно .

Определение 5: число такое что , называется отношением, в котором точка делит отрезок .

Для этого рисунка: .

2º Плоскость как аффинное пространство

Роль точки в определении многомерной плоскости может играть любая другая точка этой плоскости.

Теорема 1: если плоскость натянута на точку и подпространство , то она также натянута на это подпространство и любую другую свою точку .

□ Обозначим через плоскость натянутую на и . Требуется доказать, что , то есть что всякая точка, принадлежащая одной плоскости, принадлежит также и другой.

1) Пусть , тогда . Так как , то и . По аксиоме треугольника II имеем:

, то есть .

2) Обратно, пусть , тогда . Так как , то , то есть . ■

Теорема 2: всякая r – мерная плоскость является r – мерным аффинным пространством.

□ Пусть - плоскость, натянутая в пространстве на точку и подпространство . Выберем в две произвольные точки и , тогда и , следовательно: .

Таким образом, каждой упорядоченной паре точек и плоскости соответствует определенный вектор ее направляющего подпространства . Из определения r – мерной плоскости и теоремы (1) следует, что для выполняется аксиома I. Аксиома треугольника II, является справедливой для любых точек пространства , выполняется в частности и для плоскости . ■