§ 29. Квадрики в проективном пространстве и их проективная классификация

Опр.1. Квадрикой или гиперповерхностью второго порядка в n-мерном проективном пространстве RPⁿ называется множество точек, координаты которых относительно какой-нибудь проективной системы координат R удовлетворяют уравнению 2-ой степени вида:

(1)

где c_ij=c_ji.

Замечание 1. При переходе к другой проективной системе координат R' квадратичная форма из левой части уравнения (1) подвергается однородному линейному преобразованию переменных с невырожденной матрицей и переходит в квадратичную форму от новых переменных . Поэтому степень уравнения (1) остаётся равной двум, т.е. понятие квадрики не зависит от выбора проективной системы координат.

Пусть проективное пространство RPⁿ есть результат пополнения несобственными или бесконечно удалёнными точками n-мерного аффинного пространства А_n. Выберем в пространстве А_n аффинную систему координат , которая порождает фиксированную однородную систему координат пространства А_n+1 где и . Будем также считать, что уравнения квадрик пространства RPⁿ = заданы именно в однородной системе координат.

Имеет место теорема единственности: Если два уравнения вида (1) определяют одну и ту же квадрику в пространстве RPⁿ= , то коэффициенты в обоих этих уравнениях соответственно пропорциональны.

Известно, что с помощью линейного преобразования переменных любая квадратичная форма , det(a_kj) может быть приведена к каноническому и даже нормальному виду (см. § 18):

(2) где - ранг квадратичной формы (число ненулевых коэффициентов при квадратах новых переменных), а все числа равны .

При этом согласно закону инерции квадратичных форм, число положительных коэффициентов, т. Е. Индекс квадратичной формы, в любом нормальном виде её одно и то же.

Для формы ранга k индекс может принимать значения k,k-1,…,1,0. при умножении квадратичной формы на (-1) форма ранга k и индекса r переходит в форму ранга k и индекса k-r. Поэтому квадрика, заданная в однородных координатах уравнением (1), где квадратичная форма имеет ранг k, может быть задана в новой проективной системе координат уравнением вида:

(3)

где у переменных опущены штрихи, все , а число положительных среди них равно k,k-1,…, .

Замечание 2. Формулы указанного выше линейного преобразования переменных можно понимать и как формулы перехода от одной координатной системы к другой, и как формулы некоторого проективного преобразования пространства RPⁿ= . Кроме того, без ограничения общности можно считать, что в уравнении (3) квадрики ранга k члены с положительными коэффициентами предшествуют членам с отрицательными коэффициентами.

Имеем основной результат:

Всякая квадрика ранга k может быть с помощью проективного преобразования пространства RPⁿ= переведена в квадрику, уравнение которой в исходной однородной системе координат пространства RPⁿ имеет один из следующих видов:

(4)

Всего имеется ровно таких уравнений.

Общее число нормальных видов квадрик в пространстве RPⁿ выражается формулой: (5)

При этом, если n чётно, т. е. n=2l, то S=l²+3l+1;

если n нечётно, т. е. n=2l-1, то S=l²+2, где .

В частности, на проективной плоскости RP² при n=2 и l =1 имеется пять различных нормальных форм. В трёхмерном проективном пространстве RP³ при n=3 и l =2 имеется восемь различных нормальных форм.

Опр 2. Две квадрики проективного пространства RPⁿ называются проективно-эквивалентными, если с помощью проективного преобразования этого пространства одна из них может быть переведена в другую.

Замечание 3. Выше установлено, что каждая квадрика пространства RPⁿ попадает в один из S(n) классов, каждый из которых определен уравнением вида (4). При этом все квадрики из одного класса проективно эквивалентны. Можно доказать, что две квадрики из различных классов проективно не эквивалентны между собой (проективно различны). Поэтому полученные S(n) классов дают полную проективную классификацию действительных квадрик n-мерного действительного проективного пространства.