§ 26. Проективные координаты

Опр.1. Две аффинные системы координат и в связке О (n+1)-мерного аффинного пространства A_n+1 называются эквивалентными между собой, если существует такое число , что

...,

Относительно двух эквивалентных координатных систем любой луч m связки О, а значит и любам точка М проективного пространства RPⁿ, имеет одни и те же наборы координат.

Опр. 2. Класс эквивалентных между собой аффинных координатных систем в связке О пространства A_n+1 называется системой проективных координат в связке О.

Опр. 3. Наборами координат любого луча m и любой гиперплоскости а в связке О относительно данной системы проективных координат называются наборы координат этого луча и этой гиперплоскости относительно любой аффинной системы координат в связке О. Переименовав связку О в проективное пространство RPⁿ, получаем, что каждая проективная координатная система в проективном пространстве RPⁿ задается n+2 точками, из которых никакие n+1 не лежат в одной гиперплоскости: (n+1)-ой вершиной Е₁, Е₂, ... , Е_n+1 координатного многогранника и единичной точкой Е. Эти n+2 точек называются фундаментальными точками данной координатной системы.

В арифметическом n-мерном проективном пространстве имеется «привилегированная» или «однородная» система координат, определенная точками Е₁(1;0;...;0), Е₂(0;1;...;0), ..., Е_n+1(0;0;...;1), Е(1;1;...;1). В этой «однородной» системе координат наборами координат любой точки из RPⁿ служат те числовые наборы, классом которых и является данная точка M( х₁,х₂, ..., х_n+1) .

Наряду с «однородной» системой координат в пространстве RPⁿ может быть задана и другая «новая» система координат {E'₁ Е'₂, ..., E'_n+1}, Е наборами координат своих фундаментальных точек:

E'_k(c_1k; c_2k;...; c_n+1,k), где , E'( , ,…, ). (1)

Всегда можно сделать так, что эти n+2 наборы (1) окажутся согласованными между собой в смысле векторного равенства:

,

, где .

При этом однородные координаты x₁, х₂, ..., х_n+1 произвольной точки М связаны с проективными координатами этой же точки в системе координат {E'₁ Е'₂, ..., E'_n+1} формулами преобразования координат вида:

, (2)

, - произвольный числовой множитель, det(c_kj)

Замечание. Из формул (2) следует, что переход от исходной «однородной» системы координат к новой системе проективных координат в n-мерном проективном пространстве RPⁿ осуществляется с помощью невырожденной квадратной матрицы порядка n+1, причём всегда возможен и обратный переход.

§ 27. Проективно-аффинное пространство

Опр.1. Проективное пространство, в котором какая-нибудь одна гиперплоскость выделена из остальных и названа «несобственной» или «бесконечно удаленной», называется проективно-аффинным пространством.

Рассмотрим, каким образом можно выделить в n-мерном проективном пространстве RPⁿ его «несобственные» элементы точки, прямые, двумерные плоскости и т.д.

Пусть в n+1-мерном аффинном пространстве А_n+1 дано n-мерное подпространство А_n и в нём - аффинная система координат . Назовём аффинную систему координат пространства А_n+1 естественно связанной с координатной системой n-мерного пространства А_n, если начало О системы координат не лежит в пространстве А_n. Первые n координатных векторов у этих координатных систем общие: , а последний вектор есть вектор . Тогда в системе координат подпространство А_n пространства А_n+1 задаётся уравнением: . Возьмём теперь в пространстве A_n+1 связку с центром О. Если произвольная точка М гиперплоскости А_n имеет в системе координаты , то координаты этой точки М в системе следующие: Поэтому наборами координат луча связки О являются все наборы х₁,х₂,...,х_n+1, пропорциональные набору

Опр. 2. Все такие указанные наборы называются наборами однородных координат точки М в системе однородных координат, соответствующей аффинной координатной системе .

Итак, однородные координаты х₁,х₂,...,х_n+1 точки М связаны с её аффинными координатами в системе пропорцией:

Отсюда аффинные координаты выражаются через однородные по формулам: .

Опр. 3. Соответствие между точками М гиперплоскости А_n и лучами связки О называется перспективным соответствием.

При этом каждой точке М гиперплоскости А_n, имеющей однородные координаты х₁,х₂,...,х_n+1 соответствует луч связки О с такими же координатами в системе .

Обратно, каждому лучу m(х₁,х₂,...,х_n+1) связки О, у которого последняя координата , соответствует точка М гиперплоскости А_n с теми же координатами х₁,х₂,...,х_n+1. Однако, лучам m связки О, у которых , не соответствует никакая точка М гиперплоскости А_n. Чтобы сделать перспективное соответствие между связкой О и гиперплоскостью А_n взаимно однозначным или биективным, дополним эту гиперплоскость несобственными или бесконечно удалёнными точками с наборами однородных координат х₁,х₂,...,х_n,0. Пополненная таким образом гиперплоскость превращается в проективное пространство RPⁿ = . Это пространство становится арифметическим, если отождествить каждую его точку М с классом наборов ее однородных координат.

Замечание. Арифметическое проективное пространство естественно рассматривать как проективное пространство, полученное от пополнения несобственными элементами обыкновенного n-мерного аффинного пространства А_n с заданной в нём системой аффинных координат . Несобственные точки этого пространства - это точки (х₁,х₂,...,х_n+1), для которых , причем все такие точки принадлежат несобственной гиперплоскости с уравнением: или . Преимущество однородной системы координат состоит в том, что несобственные точки получают вполне определенные координаты.