1º. Теорема о возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду

В §18 было доказано, что любая квадратичная форма может быть приведена с помощью линейного преобразования переменных к каноническому виду и нормальному видам. Это преобразование рассматривалось как переход к новому базису в векторном пространстве. В евклидовом пространстве рассматриваются лишь ортонормированные базисы, поэтому мы теперь будем пользоваться линейными преобразованиями переменных с ортогональными матрицами, то есть ортогональными преобразованиями переменных. Оказывается, что привести квадратичную форму к каноническому виду возможно с помощью только ортогональных преобразований переменных. Переход к нормальному же виду уже не всегда возможен.

Лемма: если квадратичная форма и линейный оператор имеют одну и ту же матрицу относительно какого-нибудь ортонормированного базиса, то они будут иметь одинаковые матрицы и относительно любого другого ортонормированного базиса.

□ Рассмотрим квадратичную форму:

(1)

и линейный оператор с одинаковыми матрицами: . Этот оператор отображает произвольный вектор на вектор по формулам

(2)

Тогда квадратичная форма (1) примет вид:

(3)

Перейдем к новому ортонормированному базису. Пусть в этом базисе

, где (4)

Используя формулы (4), найдем скалярное произведение :

.

Отсюда из формулы (3) получаем:

(5)

Сравнивая равенства (4) и (5) видим, что квадратичная форма и линейный оператор имеют и в новом базисе одну и ту же матрицу с элементами . ■

Теорема: любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных.

□ Пусть квадратичная форма (1) и линейный оператор имеют в ортонормированном базисе одну и ту же симметрическую матрицу, то есть . Запишем характеристическое уравнение этого оператора

(6)

По следствию из теоремы (5) §22 существует ортонормированный базис , относительно которого матрица данного линейного оператора имеет диагональный вид, где по главной диагонали стоят корни характеристического уравнения (6). По лемме и квадратичная форма (1) в новом базисе будет иметь диагональную матрицу, то есть примет канонический вид:

(7)

Здесь каждый корень характеристического уравнения взят столько раз, какова его кратность.

Векторы старого и нового базисов связаны ортогональной матрицей ( ):

(8)

Матрица преобразования , приводящего квадратичную форму к каноническому виду, получается при транспонировании этой ортогональной матрицы, следовательно, также является ортогональной. ■

2º. Способ приведения квадратичной формы к каноническому виду:

1. Записываем и решаем характеристическое уравнение (6); его корни являются коэффициентами при в каноническом виде (7) квадратичной формы.

2. Находим новый ортонормированный базис и формулы ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.

   1. Пусть - однократный корень уравнения (6). Подставляем этот корень в систему линейных уравнений , при принимающую вид:

(9)

Находим из нее координаты собственного вектора , соответствующей этому собственного значения . Нормируя найденный вектор, получаем вектор искомого ортонормированного базиса .

2. Пусть теперь - корень характеристического уравнения кратности . После его подстановки в систему (9) найдем m линейно независимых ее решений, выбрав их так, чтобы получились координаты m попарно ортогональных единичных векторов. Примем найденные векторы за m векторов искомого базиса евклидова векторного пространства .

Аналогичные вычисления выполним для каждого из корней характеристического уравнения (6).Так как сумма кратностей всех корней равна , а собственные векторы соответствующие различным его корням, ортогональны, получим искомый ортонормированный базис .

3. С помощью транспонирования матрицы перехода от базиса к базису получаем матрицу ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Оно имеет вид:

, (10)

где