§22. Симметрический оператор, его матрица, собственные значения и собственные векторы

Определение 1: Линейное отображение векторного пространства в себя называется линейным оператором:

1) , 2) , .

Определение 2: Линейный оператор евклидового векторного пространства называется симметрическим, если

для . (1)

То есть, символ симметрического оператора при скалярном умножении можно перенести одного вектора на другой.

если - биекция

Теорема 1: симметрический линейный оператор в любом ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу.

□ Пусть симметрический линейный оператор имеет в ортонормированном базисе матрицу . Положим в формуле (1) и , тогда (2)

Так как векторы также являются базисными и выражаются через вектора с помощью матрицы то имеем:

(3) - вследствие ортогональности базиса.

Аналогично получаем

(4)

Из равенств (2), (3), (4) следует, что для любых , то есть матрица - симметрическая. ■

Теорема 2(обратная): если линейный оператор хотя бы в одном ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу, то он является симметрическим.

□ Пусть в ортонормированном базисе матрица линейного оператора симметричная: (5)

Тогда для получаем:

(6)

и (7)

Из равенств (5), (6), (7) следует, что , то есть оператор - симметрический. ■

Теорема 3: характеристическое уравнение симметрического линейного оператора может иметь только действительные корни матрицы, собственное значение вектора □■

Следствие: любой симметрический линейный оператор имеет хотя бы одно собственное значение.

Замечание 2: согласно основной теореме алгебры любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень. В частности, характеристическое уравнение симметрического линейного оператора обладает этим свойством. По теореме 3 это число - действительное, оно является собственным значением данного оператора. Числа , являются решениями векторного уравнения , также действительны и представляют собой координаты собственного вектора , соответствующего собственному значению .

Теорема 4: собственные векторы симметрического линейного оператора, соответствующие его различным собственным значениям, ортогональны между собой.

□ Пусть и причем . Так как - симметрический линейный оператор, то

или .

Так как , то или . ■

Теорема 5: для любого симметрического линейного оператора евклидова векторного пространства существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов этого оператора.

□ [5], с. 99-100, Т.2 (метод математической индукции).

Следствие: матрица симметрического линейного оператора с помощью соответствующего выбора ортонормированного базиса может быть приведена к диагональному виду; этот базис состоит из нормированных собственных векторов данного оператора.

§23. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования