§19. Понятие квадрики

Определение 1: квадрикой в аффинном пространстве называется множество точек, координаты которых в некоторой аффинной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:

(1)

где - квадратичная форма,

- линейная форма, – свободный член.

Теорема 1: понятие квадрики не зависит от выбора аффинной системы координат.

□ Если множество точек задано в старой системе координат уравнением (1), то для получения уравнения этого множества точек в новой системе координат достаточно применить формулы преобразования координат точки (§2):

, , .

При этом не могут появиться члены степени выше второй, то есть степень уравнения (1) не может повыситься. Степень этого уравнения не может понизиться. Если бы степень нового уравнения оказалась ниже второй, то при обратном переходе от этого уравнения к уравнению (1) она бы повысилась до второй. Выше доказано, что это невозможно. ■

Примеры: 1.) на аффинной плоскости квадрика является линией второго порядка и задается уравнением:

2.) в пространстве квадрика является поверхностью второго порядка и имеет уравнение:

Определение 2: точки и называются симметричными относительно точки пространства , если есть середина отрезка , то есть .

Определение 3: точка называется центром симметрии или просто центром квадрика пространства , если точка , симметричная любой точке квадрики относительно точки , также принадлежит этой квадрике.

,

Определение 4: Квадрика называется центральной, если она имеет единственный центр, и нецентральной, если не имеет цента.

Если множество центров квадрики является бесконечным и все эти центры принадлежат r-мерной плоскости P_r (1≤r<n) пространства A_n ,то говорят, что данная квадрика имеет плоскость центров размерности r.

§20. Привидение уравнения квадрики к нормальному виду

Пусть в аффинном пространстве A_n квадрика заданна в некоторой аффинной системе координат уравнением:

, . (1)

Даже при небольших значениях n уравнение (1) является громоздким. Упростить это уравнение путём надлежащего выбора системы координат позволяет следующая основная теорема.

Теорема 1: При соответственном выборе аффинной системы координат уравнение (1) любой квадрики в A_n может быть приведено к одному и только одному из следующих видов:

где (2)

где (3)

(4)

где , а числа всюду равны +1 или -1.

□ [5] Т. с. 83-85.

Определение 5: Уравнения (2), (3) и (4) называются нормальными видами уравнения квадрики.

Теорема 2: Если уравнение квадрики имеет вид (2) или (3), то точка S( ), для которой , является центром квадрики.

□ Если точки и , симметричны относительно точки S, то или . По условию , для , тогда , , ..., . Очевидно, если координаты точки удовлетворяют уравнениям (2) или (3), то ему же и удовлетворяют координаты точки ,то если точка принадлежит квадрике, то и точка ей принадлежит. По определению (3) §19 точка S – центр данной квадрики. ■

Замечание 1: Из теоремы (2) следует, что все точки (n-m) – мерной плоскости , задаваемой уравнением , являются центрами квадрики (2) или (3). Других центров эти квадрики не имеют. При m=n плоскость является нуль - мерной и совпадает с началом координат .

Замечание 2: В уравнении (4) переменная содержится в первой степени, при замене на уравнение (4) изменится, значит, квадрика с таким уравнением не имеет ни одного центра.

Замечание 3: Согласно теореме (1) для любой квадрики имеет место один и только один случай:

1) квадрика не имеет центра (неустойчивая);

2) квадрика имеет единственный центр (центральная);

3) квадрика имеет бесконечное множество центров (с многомерной плоскостью центров).