II. Квадратичные формы и квадрики

§17. Понятие квадратичной формы

Определение 1: формой или однородным многочленом от нескольких переменных называется многочлен, степени всех одночленов которого одинаковы. Если эта степень первая, то форма называется линейной, если вторая, то форма называется квадратичной: - однородная функция степени .

Линейная форма от переменных имеет вид:

Квадратичная форма от этих же переменных имеет вид:

(1)

причём полагают .

Пример: n = 2

Определение 2: квадратная матрица из коэффициентов квадратичной формы от переменных вида называется матрицей квадратичной формы (1).

Так как , то эта матрица симметрическая: её элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой.

Определение 3: линейным преобразованием переменных называется переход от системы переменных к системе переменных по формулам:

(2)

где и ≠0, (3)

то есть матрица из коэффициентов является невырожденной.

Замечания: 1) легко видеть, что множество всех указанных линейных преобразований является группой относительно их последовательного выполнения, то есть относительно композиции;

2) переменные можно рассматривать как координаты некоторого вектора векторного пространства , либо как координаты некоторой точки Х связанного с ним аффинного пространства . Тогда в первом случае формула (2) при условии (3) есть формула перехода к новому базису пространства , а во втором случае – формулы перехода к новой аффинной системе координат с прежним началом (отсутствуют свободные члены);

3) мы ограничимся рассмотрением квадратичных форм и линейных преобразований лишь с действительными коэффициентами и переменными: ;

4) подвергнув переменные в квадратичной форме (1) линейному преобразованию (2) при условии (3), получим также квадратичную от переменных с новыми коэффициентами. Оказывается, что преобразование (2) всегда можно выбрать так, что новая квадратичная форма будет содержать только квадраты новых переменных:

(4)

(некоторые коэффициенты могут оказываться нулевыми).

Определение 4: вид (4) квадратичной формы (1) называется её каноническим (простейшим) видом.

Очевидно, матрицы квадратичной формы канонического вида является диагональной: .

Если при этом коэффициенты равны 0 или ±1, то говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид.

§18. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Доказательство основной теоремы опирается на две леммы.

Лемма 1: если квадратичная форма

(1)

не содержит квадратов переменных, то с помощью линейного преобразования её можно перевести в форму, содержащую квадрат хотя бы одной переменной.

□ По условию форма содержит лишь члены с произведениями переменных, пусть при i≠j и ≠0 – один из таких членов. Применим линейное преобразование переменных:

, k≠i, k≠j.

Её определитель отличен от нуля.

Квадратичная форма будет содержать даже два члена с квадратными переменными:

Эти слагаемые не могут исчезнуть при приведении подобных членов, так как любое из остальных слагаемых содержит хотя бы одну переменную, отличную или . ■

Лемма 2: если квадратичная форма (1) содержит член и ещё хотя бы один член с этой переменной , то с помощью линейного преобразования её можно перевести в форму от переменных вида:

(2)

где q – квадратичная форма от n – 1 переменной, не содержащей переменной .

□ 1.) Выделим в квадратичной форме (1) сумму членов с переменной

,

где - сумма остальных членов, не содержащих .

2.) Обозначим

по правилу нахождения квадрата многочлена найдем и в полученном выражении выделим также сумму членов с переменной . Таковым будет квадрат члена и удвоенные произведения этого члена на остальные члены многочлена:

(4)

где - сумма членов, не содержащих

3.) Разделим обе части равенства (4) на ≠0 и вычтем полученное равенство почленно из равенства (3). Приведя подобные члены, получим следующее:

Выражение в правой части не содержит переменной и является квадратичной формой от n-1 переменных . Обозначим её через q, а коэффициент - через . Тогда получим равенство:

4.) Произведем линейные преобразования переменных:

Её определитель отличен от нуля. Тогда q есть квадратичная форма от n-1 переменных , а квадратичная форма приведена к виду (2). ■

Теорема (основная): всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью линейного преобразования переменных.

□ 1.) Если квадратичная форма (1) не содержит квадратов переменных, то, используя лемму (1), приведем её с помощью линейного преобразования к виду, содержащему квадрат хотя бы одной переменной.

2.) Далее в соответствие с леммой 2 при помощи ещё одного линейного преобразования переменных переведём полученную квадратичную форму в сумму члена с квадратом какой- либо переменной и квадратичной формы от остальных n-1 переменных. Применяем описанный процесс до тех пор, пока исходная квадратичная форма станет содержать лишь квадраты переменных, то есть канонический вид:

(5)

где m ≤ n и отличны от нуля. ■

Следствие: любая квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду с помощью линейного преобразования переменных.

□ Применим к квадратичной форме канонического вида (5) линейное преобразование переменных:

(6)

с неравным нулю определителем.

Квадратичная форма примет нормальный вид:

(7)

где при и при . ■

Замечания: 1.) линейное преобразование переменных, непосредственно приводящее квадратичную форму (1) к виду (7), является композицией всех линейных преобразований переменных, используемых в основной теореме и её следствии;

2.) выполняя различные линейные преобразования переменных, в итоге можно получить отличающиеся по внешнему виду окончательные результаты;

3.) описанный в теореме способ приведения квадратичной формы к каноническому виду применяется на практике; он был предложен известным французским математиком Ж. Л. Лагранжем (1736 - 1813);

4.) квадратичные формы имеют важное свойство, называемое законом инерции. Это свойство выражает следующая теорема.

Теорема 2: если квадратичная форма приведена к каноническому виду с помощью двух различных линейных преобразований переменных, то число р положительных коэффициентов при квадратах новых переменных, так же как и число q отрицательных коэффициентов, будет в обоих случаях одно и то же.

Из закона инерции следует, что число p + q всех ненулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа её приведения к каноническому виду. Это число p + q называется рангом квадратичной формы и всегда равно рангу её матрицы, а число р называется положительным индексом квадратичной формы. Квадратичная форма называется положительно определенной, если при любых одновременно не равных нулю значениях переменных она принимает положительные значения.