§15. Группа подобий евклидова пространства

Определение 1: подобием пространства Е_п называется его аффинное преобразование, при котором все расстояния между точками умножаются на одно и то же положительное число k, называемое коэффициентом подобия.

Определение 2: фигура F₁ называется подобной фигуре F₂, если существует подобие, отображающее F₁ на F₂.

Пример: любое движение является подобием с коэффициентом k=1.

Теорема 1: гомотетия с коэффициентом k ≠ 0 является подобием с коэффициентом |k|.

□ Гомотетия с центром S(S_i) и коэффициентом k задается в аффинной, в частности, прямоугольной декартовой системе координат формулами вида:

(1) (см. §9)

Пусть точки M(x_i) и N(y_i) отображаются при гомотетии соответственно на точки M'(x_i) и N'(y_i). Так как , то по формуле расстояния между точками получаем: ■

Теорема 2: множество подобий пространства Е_п является группой.

□ 1) Пусть и - подобия с коэффициентами k₁ и k₂. Так как это аффинное преобразование, то и их композиция - аффинное преобразование. При подобии все расстояния умножаются на коэффициент k₁, а при подобии все расстояния умножаются на k₂, тогда при все расстояния умножаются на .

Значит, - подобие с коэффициентом k₁∙k₂.

2) Пусть - подобие с коэффициентом k. Так как это аффинное преобразование, то и - аффинное преобразование. При все расстояния умножаются на число k, при они умножаются на число , поэтому является подобием. ■

Теорема 3: всякое подобие с коэффициентом k можно представить в виде композиции гомотетии (с тем же коэффициентом и любым центром) и некоторого движения.

□ Пусть - подобие с коэффициентом k, а g – гомотетия с этим же коэффициентом. Тогда - гомотетия с коэффициентом . Преобразование (2), является композицией подобия с коэффициентами k и , есть подобие с коэффициентом k∙ =1, то есть движение. Но тогда получаем из формулы (2): и требуемое доказано. ■

Следующие три теоремы выражают свойства подобий.

Теорема 4: при подобии с коэффициентом k длины всех векторов умножаются на число k, а все скалярные произведения векторов на k².

□ Воспользуемся теоремой (3): . Так как векторное преобразование, ассоциирование с движением t, является ортогональным, то оно не меняет длин и скалярных произведений векторов (см. §10).

Векторное произведение, ассоциированное с гомотетией g, имеет вид: , тогда при нем все длины векторов умножаются на k, а все скалярные произведения на k².

, . ■

Теорема 5: подобие не изменяет углы между векторами.

□ Пусть , тогда

Так как по определению угла между векторами и , то . ■

Теорема 6: подобие с коэффициентом k задается в прямоугольной декартовой системе координат формулами вида: , (3) где , а матрица ( ) ортогональна.

□ Согласно теореме (3) данное подобие представимо в виде композиции гомотетии центром в начале координат и коэффициентом k:

(4)

и некоторого движения: (5)

Подставляя значения (4) в (5), получаем (3). ■