§14. Группа движений евклидова пространства

Определение 1: движением пространства называется его аффинное преобразование, не меняющее расстояние между точками.

Замечание 1: из определения расстояния между точками (§11) следует, что ассоциированное с движением векторное преобразование сохраняет длины векторов, значит, является ортогональным преобразованием, кроме того при этом преобразовании не меняются скалярное произведение и углы между векторами.

Определение 2: система координат называется прямоугольной декартовой или ортонормированной, если векторы образуют ортонормированный базис векторного евклидова пространства , связанной с .

Замечание 2: при движении ортонормированная система координат отображается также на ортонормированную систему координат.

Следующие теоремы являются непосредственными следствиями аналогичных теорем из §8 и теоремы (3) из §10.

Теорема 1: при движении пространства координаты произвольной точки М и координаты её образа М в одной и той же ПДСК связаны формулами вида:

(1)

где матрица ( ) ортогональна.

Если , то движение (1) I рода, если же , то это движение II рода.

Теорема 2: всякое преобразование пространства вида (1) с ортогональной матрицей ( ), является движением.

Теорема 3: движение пространства вполне определяется заданием двух соответствующих ортонормированных систем координат (реперов).

Теорема 4: множество движений пространства Е_n является группой.

□ 1) Так как движения и - аффинные преобразования, то и их композиция - аффинное преобразование согласно теореме (1) из §9. Так как и не меняют расстояний между точками, то также не меняют расстояний между точками, а значит, является движением.

2) Так как движение - аффинное преобразование, то - также аффинное преобразование. Так как сохраняет расстояние между точками, то также сохраняет расстояние между точками, а значит, является движением. ■

Рассмотрим подгруппы группы движений.

1º. Параллельный перенос задается формулами вида:

где

то есть формулами .

Следовательно, матрица ( ) является единичной. Но единичная матрица ортогональна и по теореме (2) параллельный перенос является движением. Группа параллельных переносов является подгруппой группы движений пространства Е_n.

2º. Движение, оставляющее неподвижной некоторую точку S, называется вращением вокруг центра S. Вращение является частным случаем центроаффинного преобразования (§9). Его формулы имеют такой же вид, что и формулы центроаффинного преобразования, но матрица ( ) ортогональна. Очевидно, вращение с данным центром S образуют подгруппу группы всех движений пространства Е_n.

Как и в §9 указывается, что любое движение может быть представлено в виде композиции вращения и параллельного переноса.

Определение 3: Евклидовой геометрией называется наука, изучающая те свойства пространства Е_n, которые не изменяются при любых движениях этого пространства.

Замечание 3: элементарная геометрия – это евклидова геометрия пространств Е₂ и Е₃. Так как движение является частным случаем аффинного преобразования, то любое свойство фигуры, сохраняющееся при любом аффинном преобразовании, будет сохраняться и при движении. Поэтому все свойства фигур, изучаемые в аффинной геометрии, изучаются также и в евклидовой геометрии. Однако евклидова геометрия значительно богаче по содержанию, чем аффинная геометрия, так как в ней рассматриваются метрические понятия, отсутствующие в аффинной геометрии.