§13. Определитель Грама. Объем в евклидовом пространстве

1º.

Определение 1: пусть - произвольная система векторов . Определителем Грама этой системы векторов называется определитель m-го порядка вида:

(1)

Грам Йёрген (1850-1916) - датский математик. Определитель Грама обладает свойствами (доказаны в алгебре):

1. он всегда неотрицателен;

2. система векторов , , линейно независима тогда и только тогда, когда её определитель Грама положителен.

Замечание 1: из аналитической геометрии известно, что объем параллелепипеда, построенного на трёх неколлинеарных векторах равен произведению площади параллелограмма, построенного на векторах , и длины перпендикуляра, опущенного из конца вектора на плоскость векторов .

Обобщим понятие объёма трехмерного параллелепипеда на случаи больших размерностей.

Как известно, в пространстве , параллелепипедом, построенным на m - линейно независимых векторах , называется множество векторов вида , где параметры , , независимо друг от друга изменяются на отрезке . Назовём основанием этого параллелепипеда (m-1) - мерный параллелепипед натянутый на векторы , а расстояние от конца вектора до плоскости , натянутой на векторы , назовём высотой исходного параллелепипеда. «Объёмом» одномерного параллелепипеда назовем длину вектора . Для больших размерностей объём определим индуктивно, как объём основания, умноженной на высоту.

Теорема 1: квадрат объёма m-мерного параллелепипеда равен определителю Грама совокупности векторов :

(2)

□ Применим метод математической индукции по числу m векторов.

1. Для m=1 имеем: - утверждение теоремы справедливо.

2. Докажем что теорема имеет место для (m-1) векторов и докажем ёё справедливость для m векторов. Обозначим через ортогональную проекцию вектора на ортогональное дополнение к подпространству , натянутому на векторы . Эта проекция осуществляется параллельно подпространству , поэтому

, ,

причём (3)

Прибавим к последнему столбцу определителя Грама (1) предшествующие столбцы, соответственно умноженные на коэффициенты . Так как скалярное произведение линейно по второму аргументу, то получим в последнем столбце числа , причём первые (m-1) из них равны нулю ( - ортогональная проекция на ). Последний элемент последнего столбца равен

.

Длина вектора равна высоте параллелепипеда, поэтому

(4)

Согласно индуктивному предположению определитель Грама из правой части равенства (4) есть квадрат объёма основания. Следовательно:

и теорема доказана. ■

2º.Объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве

Пусть в пространстве задана линейно независимая система из n-векторов , а матрица А=( ), , имеет своими столбцами координаты этих векторов в некотором ортонормированном базисе . Тогда для матрицы рассмотрим элемент . . То есть матрица является матрицей Грама системы векторов .

Так как , то (5)

Из равенства (2) следует что .

Теорема 2: квадрат объёма n-мерного параллелепипеда равен квадрату определителя матрицы или . (6)