§12. Плоскости в евклидовом пространстве

Определение r-мерной плоскости и её аффинные свойства, рассмотренные ранее, сохраняются и в пространстве Е . (однако, в E имеются ряд задач специфического, метрического содержания. Обобщим некоторые метрические понятия трехмерного пространства на евклидово пространство измерений.

Определение 1: пусть V - векторное евклидово пространство, связанное с пространством E и W - его подпространство. Множество W всех векторов из V , ортогональных любому вектору W , называется ортогональным дополнением пространства W .

Пример: если V = { },то { } = V .

Определение 2: пусть V и V - подпространства векторного пространства V , где 0 r n и 0 s n. Их объединение V , состоящее из векторов вида + , где V , а V , является векторным пространством и называется алгебраической суммой пространств V и V и обозначается V = V + V .

Определение 3: если V V ={ },то алгебраическая сумма называется прямой суммой и обозначается V V .

В курсе линейной алгебры доказано следующее:

Теорема 1: для любого подпространства V V его ортогональное дополнение также является подпространством пространства V , причем, если V V и V { }, то V = V и .

Определение 4: пусть P - многомерная плоскость пространства E , натянутая на точку М и векторное евклидово подпространство V . Плоскость, направляющим подпространством которой служит V , называется ортогональным дополнением к плоскости P и обозначается P .

Теорема 2: плоскости P и P пространства E пересекаются в единственной точке.

□ Пусть P натянута на точку М и векторное евклидово подпространство V , а плоскость P - на точку N и V . Тогда V V = V .Значит, выполнено необходимое и достаточное условие пересечения плоскостей: для объединенной системы линейных уравнений, задающих эти плоскости, равны ранги основной и расширенной матрицы. Так как размерность их пересечения t = m + (n – m) =n, то V V = { }, значит, P и P пересекаются, причем в единственной точке. ■

Теорема 3: через любую точку N пространства E проходит единственное ортогональное дополнение P к плоскости P , натянутой на точку M и подпространство V .

□ По условию плоскость P натянута на точку N и подпространство V , а так как многомерная плоскость вполне задается своей любой точкой и направляющим подпространством, то P - единственна. ■

Теоремы 1-3 позволяют ввести понятие расстояния от точки до плоскости P

1 m n-1.

Пусть плоскость P натянута в пространстве E на точку М и подпространство V плоскость P проходит через некоторую точку N, точка K = P P , точка B – произвольная точка плоскости P .

По аксиоме треугольника имеем: + = (1)

Так как по условию K, B P , то V ; K, N P , то V , значит и =0.

Из равенства (1) по теореме Пифагора получаем:

(2)

если B K, то и из (2) , то есть - длина перпендикуляра к плоскости P меньше длины любой наклонной . Поэтому расстоянием от точки N до плоскости P будем считать длину вектора . Если же N P , то считаем . (3)

Задача: вычислить расстояние от точки N (x , x ,…,x ) до гиперплоскости P c уравнением a (решить на практическом занятии).

Решение: обозначим через ортогональную проекцию точки N на гиперплоскость P и выберем на ней две произвольные точки и . Тогда имеем и

, то есть . Значит, вектор ортогонален любому вектору , то есть и . Вычислим двумя способами произведение .

1) = , так как, или и .

2) = .

Окончательно имеем: (4)