§11. Евклидово точечное и n – мерное пространства
Определение
1: аффинное пространство
называется евклидовым точечным или
просто евклидовым пространством, если
связанное с ним пространство
является евклидовым векторным
пространством и обозначается
.
Замечание 1: точки и векторы являются основными объектами пространства , а операции над ними называются основными или неопределяемыми отношениями. Природа основных объектов может быть любой, требуется лишь, чтобы основные отношения удовлетворяли аксиомам всех пяти групп. Все другие объекты и отношения определяются через основные, а при доказательствах теорем используются лишь аксиомы и ранее доказанные их следствия. Все определения и теоремы, сформулированные для пространства верны и для пространства .
Определение
2: аффинная система координат в
пространстве
называется прямоугольной декартовой,
если её координатные векторы
,
,
образуют ортонормированный базис,
связанного с ним евклидова векторного
пространства
.
Теорема 1:
при переходе от одной из двух прямоугольных
декартовых систем координат к другой
координаты
произвольной точки в старой системе
выражаются через её координаты
в новой системе координат формулами:
(1)
где
(то есть матрицы ортогональны).
Эта теорема следует
из теоремы (2) §2 и теоремы (3) §10, коэффициенты
и
имеют
прежний геометрический смысл.
Пример 2:
n=2,
– евклидово пространство, формулы
перехода известны из аналитической
геометрии и являются частным случаем
формул (1):
,
,
=
.
Определение
3: расстоянием от точки
до точки
пространства
называется длина вектора
и обозначается
.
Пусть
,
в
одной из прямоугольных декартовых
систем координат
,
тогда, очевидно:
Теорема 2: для любых трёх точек , и справедливо неравенство треугольника:
(2)
□ По аксиоме
треугольника из параграфа §1 имеем:
или
.
Так как
(при
это очевидно, а при
следует из неравенства Коши – Буняковского,
замечание (1), §10), то
,
,
то есть
.
■
Замечание
2: очевидно, если
совпадает с
или
,
то в формуле (2) имеет место знак равенства.
Если же
не совпадает ни с
,
ни с
,
то равенство выполняется тогда и только
тогда, когда
лежит на прямой
между точками
и
.
Определение
4: множество точек пространства
,
расстояния от которых до данной точки
равны
,
называется гиперсферой с центром
и радиусом
.
Если
,
а
- точка гиперсферы, то имеем
и
(3)
Определение 5: множество точек пространства , расстояния от которых до данной точки не превышает , называется n – мерным шаром. Очевидно, n – мерный шар задаётся в пространстве неравенством:
(4)
Примеры (частные случаи):
1
)
n = 1,
-
прямая,
пара точек
отрезок длины
2) n
= 2, E
-
плоскость:
(x
-
c
)
+
(x
-
c
)
=
R
-
окружность (x
-
c
)
+
(x
-
c
)
R
-
круг
3) n=3,
E
:
-
сфера 
-
шар
Определение
6: r-мерный параллелепипед
пространства E
называется r-мерный кубом,
если он натянут на точку А и единичные
попарно ортогональные векторы:
=
t
+
t
+…+
t
,
1
r
n,
0
t
1, i =1,2,3,…r,
M
E
, 
=1,
, i
j.
Примеры (частные случаи):
1) r =1 - отрезок длины 1:
A
B AB=1
2) r = 2 - квадрат со стороной 1:
.
3) r =8 – куб с ребром 1:
