§ 10. Евклидово векторное пространство

1º. Пусть имеется действительное n – мерное векторное пространство V_n, то есть непустое множество элементов, называемых векторами, в котором заданы операции сложения векторов и умножение вектора на число, удовлетворяющие 10 аксиомам 3 групп: I. – Аксиомы сложения векторов. II. – Аксиомы умножения вектора на число. III. – Аксиомы размерностей. Зададим ещё одну операцию скалярного умножения векторов: любым двум векторам и сопоставим действительное число – их скалярное произведение.

Определение 1: векторное пространство называется n – мерным евклидовым векторным пространством, если скалярное произведение подчиняется аксиомам:

IV. Аксиомы скалярного умножения векторов

IV₁: =

IV₂:

IV₃:

IV₄: если , то >0

Если , то :

Определение 2: отображение одного евклидова векторного пространства на другое называется изоморфным, если оно:

1. биективно;

2. линейно;

3. сохраняет скалярное произведение векторов;

При этом два указанных векторных пространства называются изоморфными, если одно из них можно изоморфно отобразить на другое. V_n V_m n = m.

Определение 3: длиной (модулем, нормой) вектора называется арифметический квадратный корень из его скалярного квадрата:

| | = = .

Очевидно: = , если = 0, то = 0; если же ≠ 0, то > 0.

Замечание 1: так как из равенства Коши – Буняковского следует, что -1 ≤ ≤ 1 , то указанную дробь можно рассматривать как косинус некоторого аргумента (тэта – буква греческого алфавита).

Определение 4: число , для которого

= и 0 ≤ ≤ , (1)

называется углом между векторами и .

Если = , то векторы и ортогональны, причем = 0.

Если = ,то и при к > 0 = 0, а при к < 0 = .

Замечание 2: из соотношения (1) следует формула скалярного произведения векторов:

(2)

Определение 5: базис евклидова векторного пространства называется ортонормированным, если его векторы единичны и попарно ортогональны:

и , , при .

Теорема 1: в ортонормированном базисе скалярное произведение векторов и выражается формулой:

(3)

□ ( … )·( … )= … ■

Следствия: 1.) … (4)

2.) (5)

3.) (6)

2º. Ортогональные преобразования

Определение 6: квадратная матрица А называется ортогональной, если выполняется равенство:

(7)

Это соотношение равносильно любому из следующих:

(8)

где – единичная матрица, и – соответственно обратная и транспонированная для .

Если , , то из равенства (8) получаем соотношения:

(9)

Эти равенства показывают, что при транспонировании ортогональной матрицы получается также ортогональная матрица.

Так как , то , то есть – определитель ортогональной матрицы может быть равен +1 или -1 .

Замечание 3: формулы перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису имею т ортогональную матрицу.

Определение 7: линейное преобразование евклидова пространства , называется ортогональным, если сохраняет длину любого вектора: .

Теорема 2: ортогональное преобразование сохраняет скалярное произведение векторов.

□ Для любых векторов и имеем:

или (10)

Аналогично:

(11)

Но - линейное преобразование, поэтому , причём из определения (7) имеем:

, , .

Равенство (11) перепишем в виде:

. (12)

Сравнивая (10) и (12), имеем требуемое: ■

Следствие 1: ортогональное преобразование сохраняет углы между векторами.

Следствие 2: ортогональное преобразование переводит ортонормированный базис также в ортонормированный базис.

Замечание 4: справедливы следующие теоремы:

Теорема 3: для того чтобы линейное преобразование было ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица относительно какого-нибудь ортонормированного базиса была ортогональной.

Теорема 4: множество ортогональных преобразований евклидова векторного пространства является группой.

Определение 8: ортогональным преобразованием называется линейное преобразование, сохраняющее скалярное произведение векторов, или изоморфное отображение евклидова векторного пространства на себя.