4°. Подгруппа центроаффинных преобразований

Определение 4: центроаффинным преобразованием с центром S называется аффинное преобразование пространства , оставляющее неподвижной точку S.

Пусть , применим к этой точке формулы (1) из §8, учитывая, что :

Откуда выразим :

Подставив найденные значения снова в равенства (1) §8, получим формулы центроаффинного преобразования с центром S:

.

В частности, ели , то .

Композиция аффинных преобразований, оставляющих неподвижной точку S, есть аффинное преобразование, оставляющих неподвижной эту точку. Преобразование, обратное аффинному преобразованию, оставляющему точку S неподвижной, есть аффинное преобразование, также обладающие этими свойствами. Следовательно, центроаффинное преобразование с центром S образует группу, служащую еще одним примером подгруппы группы аффинных преобразований пространства .

Теорема 2: всякое аффинное преобразование пространства может быть представлено как композиция центроаффинного преобразования и параллельного переноса.

□ Из формул (1) §8 следует, что любое аффинное преобразование есть композиция центроаффинного преобразования

и параллельного переноса . ■

5°. Предмет аффинной геометрии

Будем понимать под фигурами пространства некоторые множества точек этого пространства. Пусть аффинное преобразование f отображает фигуру F на фигуру F’: .

Определение 5: свойства фигуры F, не меняющиеся при данном преобразовании f, называются инвариантными относительно этого преобразования. Свойства фигур, инвариантные относительно любых аффинных преобразований, называется аффинными свойствами.

Определение 6: аффинной геометрией называется наука, изучающая аффинные свойства (инварианты) фигур аффинного n – мерного действительного пространства .

Примеры: 1) Любое аффинное преобразование отображает r – мерную плоскость также на r – мерную плоскость. Следовательно, свойства множества точек быть r – мерной плоскостью является аффинным и r – мерная плоскость есть понятие аффинной геометрии. Кроме того, параллельность плоскости также является аффинным свойством.

2) Аффинным являются также понятия линейной независимости векторов, простое отношение трёх точек прямой, аффинные координаты точки. Все доказанные выше теоремы выражают свойства этих понятий и являются теоремами многомерной аффинной геометрии.

Определение 7: фигура F₁ называется аффинно-эквивалентной фигуре F₁, если существует аффинное преобразование пространства , отображающая фигуру F₁ на фигуру F₂.

Замечание: в школьном курсе геометрии равные фигуры не отличаются друг от друга по своим свойствам. Аналогично с точки зрения аффинной геометрии все свойства аффинно-эквивалентных фигур одинаковы.

Теорема 3: любые две r – мерные плоскости аффинно- эквивалентны.

□ Пусть в пространстве плоскость Р_r натянута на точку А и векторы , а плоскость Р'_r натянута на точку А' и векторы .

Допишем эти линейно независимые системы так, чтобы получить две аффинные системы координат пространства , А , , где i = 1, 2,…,n. По теореме (3) из § 8 существует единственное аффинное преобразование, переводящее первый репер во второй. Тогда, в частности, А, , отображаются на А', , следовательно Р_r отображается на Р'_r , что означает их аффинную эквивалентность. ■