- •Многомерная геометрия: многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики
- •Рецензенты:
- •Многомерная геометрия Введение
- •I. Аффинные и евклидовы n-мерные пространства
- •§1. Аксиомы аффинного и n-мерного действительного пространства
- •I. Аксиомы сложения векторов
- •II. Аксиомы умножения вектора на число
- •III. Аксиомы размерности
- •§2. Аффинная система координат
- •2º. Переход к новой системе координат
- •§3. Многомерные плоскости
- •2º Плоскость как аффинное пространство
- •§4. Способы задания многомерной плоскости
- •1º Векторные уравнения.
- •2º Параметрические уравнения
- •3º Общие уравнения
- •§5. Взаимное расположение многомерных плоскостей
- •§6. Изоморфизм аффинных пространств
- •§7. Аффинные преобразования
- •§8. Аффинное преобразование в координатах
- •§9. Группа аффинных преобразований и её подгруппы. Предмет аффинной геометрии
- •2°. Подгруппа параллельных переносов
- •3°. Подгруппа гомотетий
- •4°. Подгруппа центроаффинных преобразований
- •5°. Предмет аффинной геометрии
- •§ 10. Евклидово векторное пространство
- •IV. Аксиомы скалярного умножения векторов
- •2º. Ортогональные преобразования
- •§11. Евклидово точечное и n – мерное пространства
- •§12. Плоскости в евклидовом пространстве
- •§13. Определитель Грама. Объем в евклидовом пространстве
- •2º.Объём n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве
- •§14. Группа движений евклидова пространства
- •§15. Группа подобий евклидова пространства
- •§16. Групповой подход к геометрии
- •II. Квадратичные формы и квадрики
- •§17. Понятие квадратичной формы
- •§18. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •§19. Понятие квадрики
- •§20. Привидение уравнения квадрики к нормальному виду
- •§21.Классификация квадрик в пространстве An
- •Эллипсоиды и гиперболоиды
- •Конические квадрики (конусы)
- •III. Параболоиды.
- •IV. Цилиндрические квадрики (цилиндры)
- •§22. Симметрический оператор, его матрица, собственные значения и собственные векторы
- •§23. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования
- •1º. Теорема о возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду
- •2º. Способ приведения квадратичной формы к каноническому виду:
- •3º. Ортогональные инварианты
- •§24. Квадрики в евклидовом пространстве
- •1º. Упрощение уравнения квадрики
- •2º. Классификация квадрик в трёхмерном евклидовом пространстве
- •§ 25. Проективное пространство, его плоскости и прямые
- •§ 26. Проективные координаты
- •§ 27. Проективно-аффинное пространство
- •§28. Проективные преобразования
- •§ 29. Квадрики в проективном пространстве и их проективная классификация
- •При этом согласно закону инерции квадратичных форм, число положительных коэффициентов, т. Е. Индекс квадратичной формы, в любом нормальном виде её одно и то же.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Логунов И.С.
Многомерная геометрия: многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики
Учебно-методическое пособие
по дисциплине «Дополнительные главы алгебры и геометрии»
предназначено для самостоятельной работы бакалавров по направлению
подготовки: 01.04.00.62 – прикладная математика и информатика
профиль: Системное программирование и компьютерные технологии
Квалификация: бакалавр
Орел-2013
УДК 51. (075.38) Печатается по решению редакционно-
ББК 22ю15 я 22 издательского совета
Л 698 ФГБОУ ВПО «Орловский Государственный
Университет»
Протокол № от . . 2013 г.
Рецензенты:
кандидат физико-математических наук, доцент Панюшкин С.В.
кандидат педагогических наук, доцент Овсянникова Т.Л.
Логунов И.С. Учебно-методическое пособие по дисциплине «Дополнительные главы алгебры и геометрии», предназначено для самостоятельной работы бакалавров по направлению подготовки: 010400.62 – прикладная математика и информатика, профиль: Системное программирование и компьютерные технологии, квалификация: бакалавр. – Орел: ФГБОУ ВПО «ОГУ», 2013. - с.
Пособие содержит теоретический материал по вопросам многомерной геометрии (многомерные пространства, квадратичные формы и квадрики), предназначенный для организации самостоятельной работы в процессе изучения дисциплины «Дополнительные главы алгебры и геометрии».
Рекомендуется для бакалавров направления: 01.04.00.62 – Прикладная математика и информатика, профиль: Системное программирование и компьютерные технологии.
© Логунов И.С., 2013
© ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет»
Многомерная геометрия Введение
Одним из основных понятий математики является понятие пространства. Под пространством понимается логически мыслимая форма или структура, служащая средой, в которой осуществляются другие формы и конструкции. Например, в элементарной геометрии плоскость или пространство служат средой, в которой строятся разнообразные множества точек – фигуры, с которыми связываются такие понятия, как равенство фигур, расстояние между точками, площадь, объем, взаимное расположение фигур и т.д.
Исторически первым и важнейшим математическим пространством является 3-мерное евклидово пространство. Общее понятие о математическом пространстве было выдвинуто в 1854 г. немецким математиком Б.Риманом, в дальнейшем оно обобщалось, уточнялось и конкретизировалось в разных направлениях: банахово, векторное, гильбертово, риманово, пространство Лобачевского и другие.
В современной математике пространство определяют как множество каких либо объектов, называемых точками. Ими могут быть векторы, матрицы, фигуры, функции, состояния физических систем и т.д. Рассматривая их множество как пространство, отвлекаются то их реальных свойств и учитывают только те, которые определяются принятыми во внимание основными отношениями. Указанные отношения между точками и фигурами, то есть множеством точек, и определяют “геометрию” самого пространства.
При аксиоматическом ее построении основные свойства этих отношений выражаются в соответствующих аксиомах (αξiωμα - греч. - основное положение, принимаемое без доказательства). Все остальные теории получаются как логические следствия аксиом, то есть доказываются как теоремы.
Многомерная геометрия – это геометрия пространств размерности, большей трех. Построение геометрии таких пространств проводится по аналогии со случаем трех измерений. Исходя из понятия векторного (линейного) пространства, при этом свойства фигур изучают с помощью их определяющих условий: уравнений, неравенств или систем. Любая задача или теорема, связанная с геометрическими образами, решается или доказывается средствами алгебры.
Например, в […] теории относительности рассматривают четырехмерное пространство (пространственно-временной континуум), на осях координат которого три евклидовы координаты x, y, z и время t. Любое событие изображается точкой четырехмерного пространства (мировая точка), а движению некоторой частицы в пространстве и во времени соответствует мировая линия в четырехмерном пространстве.
Важным примером пространства является понятие векторного или линейного пространства. Дадим его определение.