Теория электросвязи Часть II Согласованный фильтр.

В соответствии с критерием оптимального приема, взаимно корреляционная функция переданного сигнала с принятым сигналом должна быть максимальной, т.е.

( I )

Указанную операцию следует провести для всех сигналов , которые могут быть переданы; затем выбрать тот , для которого будет иметь место , т.е. будет наибольшей.

Операция вычисления может быть выполнена с помощью линейного фильтра, выходное напряжение которого определяется интегралом Дюамеля вида:

,

где: - принимаемый сигнал в смеси с шумом,

- импульсная характеристика фильтра.

Будем производить отсчет напряжения на выходе фильтра в момент . Тогда заменив и , получим:

или заменив переменную интегрирования на , получим: ( II ).

Из сравнения ( I ) и ( II ) следует, что , т.е. импульсная характеристика фильтра, выполняющего операцию вычисления взаимно корреляционной функции принятого сигнала с этой импульсной характерис-тикой, должна соответствовать зеркальному отображению сигнала , (Рис. 2.6):

Фильтр, обладающий такой импульсной характеристикой, называется согласованным фильтром (оптимальным фильтром). Если его импульсная характеристика образована из сигнала, с которым он согласован, то такой фильтр вычисляет в момент величину автокорреляционной функции этого сигнала. При приеме сигнала в смеси с шумом такой фильтр может вычислять взаимнокор-реляционную функцию принятого сигнала Х(t) с любым сигналом из тех, которые могли быть переданы по каналу связи. Тогда оптимальный приемник может быть построен по схеме Рис 2.7 c использованием «m» фильтров, согласованных с сигналами Сигналу соответствует , вычисленный согласованным фильтром СФ_к.

Помехоустойчивость согласованного фильтра.

Пусть на вход согласованного фильтра действует сумма сигнала

и шума - стационарного, случайного процесса типа «белого» шума:

.

Спектр сигнала: ;

спектральная плотность шума: ;

коэффициент передачи фильтра: .

Выражение для сигнала на выходе фильтра:

,

где:

Выражение для мощности помехи на выходе фильтра:

Пиковая мощность сигнала и эффективное значение мощности помехи для момента времени :

;

Определим комплексный коэффициент передачи фильтра: ,

для которого в заданный момент времени отношение пиковой мощности сигнала к эффективному значению помехи (шума) было бы максимальным.

Полученное выражение может иметь максимальное значение, если будет выполнено равенство, т.е. одно из условий неравенства Коши-Шварца:

,

где

Это условие выполняется, если , где ,

- сопряженный комплекс по отношению к .

Это означает, что (1)

(2)

Первое условие (1) означает, что частотная характеристика фильтра с точностью до постоянного множителя должна повторять характеристику модуля спектра сигнала. Итак, между спектром сигнала и частотной характеристикой фильтра имеется жесткая связь. Поэтому такой оптимальный фильтр называется согласованным.

Второе условие (2) означает следующее:

Рассмотрим фазу выходного сигнала фильтра (см. выше):

при получим:

.

при фаза выходного сигнала будет иметь вид:

Это означает, что при , все составляющие спектра сигнала на выходе согласованного фильтра будут находиться в фазе. Поэтому сигнал на выходе фильтра будет максимальным.