3.3. Обернена пропорційність

Знати: означення оберненої пропорційності.

Уміти: встановлювати на основі означення, чи є функція оберненою пропорційністю.

Методичні рекомендації: Вивчення оберненої пропорційності проводиться за таким самим правилом, як і вивчення прямої пропорційності. Спочатку дається означення оберненої пропорційності, а потім розглядаються її властивості і графік.

Припустимо, що вам доручили вирізати із цупкого паперу декілька прямокутників, але з однією умовою; щоб площа всіх прямокутників була одна і та ж, наприклад 4 см²

Позначимо буквами х і у довжини суміжних сторін прямокутника. Тоді нашу умову можна записати формулою ху=4(см²). Про такі величини кажуть, що вони обернено пропорційні, а число 4 називають коефіцієнтом оберненої пропорційності.

Залежність між величинами називають оберненою пропорційністю, якщо добуток цих величин є сталим числом, якому дорівнює цей добуток, називають коефіцієнтом оберненої пропорційності.

Обернена пропорційність між величинами х і у виражається формулою ху=k або . Читають величина у обернено пропорційна величині х з коефіцієнтом k.

Обернена пропорційність означається як функція, яку можна задавати формулою , де k – число, де k0. для того, щоб відповісти на запитання, чи є деяка функція оберненою пропорційністю потрібно встановити, чи можна її задати формулою , де k0. якщо функція задана таблицею, то для цього досить показати, що для всіх пар значень змінних х і у добуток ху дорівнює одному й тому самому числу, відмінному від нуля.

Графік оберненої пропорційності.

Знати: який вигляд має графік функції, що задана формулою , де k0. Уміти будувати графік за точками.

Уміти за допомогою графіка знаходити:

а) за значенням х відповідні значення у;

б) за значенням у те значення х, якому воно відповідає.

Методичні рекомендації: Пояснення матеріалу починається з побудови графіка функції, заданої формулою . Спочатку складаємо таблицю:

Х	-6	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4	6
У

Причому беруть певні додатні значення х і протилежні їм від’ємні. На координатній площині будують точки (бажано побудову виконувати на міліметровому папері).

Перед тим, як будувати криву, проводимо з учнями коротке дослідження. Спочатку з’ясовуємо, що графік не перетинає осі координат. Графіку не належать точка з абсцисою нуль і точка з ординатою нуль.

Після цього розглядаємо, як виглядає частина кривої, якій належать точки з додатними абсцисами. Ординати їх також додатні. Причому чим більше додатне значення х, тим менше відповідає йому значення у звідси випливає, що чим більша додатна абсциса точки графіка, тим ближче ця точка розміщена до осі абсцис. Чим менше додатне значення х, тим більше значення у, що відповідає йому.

Потім встановлюємо, що кожній точці графіка з від’ємними координатами симетрична їй відносно початку координат.

Після такого дослідження будується у зошитах крива. Зауважимо, що вітки кривої не повинні обмежуватися точками (1;6) і (6;1), а мають бути трохи продовжені.

Важливо підкреслити учням, що побудовані дві вітки становлять одну криву. Вчитель повідомляє, що її називають – гіперболою.

Після чого встановлюється вигляд графіка функції заданої формулою , де k  0 і розглянути малюнок. Графіком кожної функції , де k  0 є гіпербола симетрична відносно початку координат. Коли k > 0 вітки такої гіперболи розміщені у І і ІІІ координатних кутах, коли k < 0 – у II і IV.

3.4.Функція у=х².

Знати: означення функції.

Уміти:

1. будувати графік функції у=х²;

2. знаходити за графіком значення у, які відповідають даному значенню х, і навпаки;

3. з’ясовувати, чи належить дана точка координатної площини графіку функції, що задана формулою.

Методичні рекомендації: вивчення квадратичної функції проводиться в два етапи. У 8 класі розглядають окремий вид цієї функції у=х², а у 9 класі вивчається функція y=ax²+bx+c, її властивості та графік.

У 8 класі докладно розглядається побудова графіка функції у=х². перед побудовою організовуємо з учнями невеликі дослідження, яке розкриває деякі особливості графіка (його розміщення у верхній півплощині, симетричність відносно ординат, належність графіку точки (0;0).

Почати вивчення функції у=х² з побудови графіка за допомогою таблиці, а потім перейти до узагальнення. Побудуємо графік функціональної залежності у=х², за координатами його точок. Учитель пропонує учням заповнити таблицю для цілочислених значень аргументу. Для зручності виконання побудови в зошитах беремо значення від –3 до 3. утворені точки учні сполучають плавною лінією. Учитель пояснює, що криву такого виду називають параболою, і показує точне зображення параболи у=х² (на таблиці, плакаті, кодопозитиві).

Вводяться терміни: вершина параболи, вітки параболи.

У чням пропонується відповісти на запитання:

1. Як розміщений графік відносно осі Ох?

2. Скільки точок графіка розміщено на осі х; у?

3. Чому графік розміщений над віссю Ох?

Очікувана відповідь: тому, що при будь-якому значення аргументу х функція у не може мати від’ємного значення.

4. Як розміщені відносно координатних осей точки графіка, абсциси яких дорівнюють відповідно х₁=-3, х₂=3?

Учні роблять висновок, що ці точки симетричні відносно осі Оу.

Можна запитати в учнів, при яких значеннях аргументу функція у=х² спадає, при яких зростає. Яких значенню може набувати аргумент х, тобто яка область визначення цієї функції.

Обов’язковими є такі знання про властивості графіка функції у=х²:

• весь графік функції у=х² розміщений у верхній координатній півплощині;

• тільки одна його точка лежить на осі Ох;

• графік симетричний відносно осі Оу;

кожна вітка параболи – графіка функції у=х² – нескінчена.

Щодо властивостей функції у=х², то учні повинні знати, що областю її визначення є всі числа від - до +. У проміжку (-;0) функція спадає, а в проміжку (0;+) – зростає. [16]

Для зручності виконання побудов використовують шаблони графіків. Для креслення графіків у зошитах шаблони роблять у масштабі 1 см=1од. Виготовляють їх із цупкого паперу або картону, наклеюючи на нього міліметровий папір. Для викреслювання графіків на дошці виготовляють шаблон у масштабі 1 дм=1од. На шаблоні обов’язково повинна бути показана вісь симетрії. Використання шаблонів застереже учнів від неправильних побудов – викреслювання частини параболи при вершині 0 у вигляді вістря, відсутності плавних переходів при сполучені точок тощо. Для прискорення побудови графіків бажано мати спеціальну дошку з координатною сіткою.