Частотное представление сигналов

Частотное представление сигналов на практике чаще называют спектральным представлением, или спектром.

Под спектральным анализом понимают определение функции S(j) частоты , которая определяет все спектральные составляющие сигнала s(t).

Сигнал s(t) и функция S(j) связаны парой преобразования Фурье [6]:

(прямое преобразование), (2.9)

(обратное преобразование). (2.10)

Функция S(j) называется комплексной спектральной плотностью амплитуд сигнала, или сокращенно спектром сигнала, и имеет размерность [амплитуда]/[частота].

Спектр периодического сигнала

При анализе спектрального состава периодических сигналов удобно использо-вать дельта-функцию (t-t₀) [2].

По определению, дельта-функция (t-t₀) для любого действительного параметра t₀ равна нулю при tt₀ и неограниченна при t=t₀:

 (t-t₀) . (2.11)

При спектральном анализе используется фильтрующее свойство

-функции:

(2.12)

Периодический сигнал s(t)=s(t-kT₀), k=0,1,2,... можно представить в виде ряда Фурье:

. (2.13)

Учитывая, что (формула Эйлера), можно заметить, что сигнал s(t) состоит из бесконечного числа синусоидальных и косинусоидальных сигналов с частотами n₁, n=-, ..., -2,-1,0,1,2, ...,+.. Эти сигналы с частотами, кратными частоте ₁, называются гармоническими частотами периодического сигнала. Комплексная амплитуда n-й гармоники определяется по формуле

. (2.14)

Спектр периодического сигнала находится применением прямого преобразования Фурье (2.9) к ряду (1.13) [7]:

.

С учетом того, что

окончательно получаем

(2.15)

Коэффициенты удобно представить в виде

, (2.16)

где (2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

Зависимость модуля С_n выражения (2.16) от частоты называется спектром амплитуд, а зависимость аргумента _n от частоты - спектром фаз.

Согласно полученному выражению, спектр периодического сигнала состоит из бесконечного множества импульсных функций, расположенных на оси частот в точках n ₁ (кратных основной частоте ₁) и имеющих площадь, равную соответствующему коэффициенту С_n ряда Фурье (2.14).

Пример графика спектра периодического сигнала изображён на рис. 2.7.

Гармонический анализ сложных периодических сигналов в сочетании с принципом суперпозиции (наложения) представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных систем на прохождение сигнала. Однако, определение сигнала на выходе системы по сумме гармоник с заданными амплитудами является непростой задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда Фурье, представляющего сигнал. Наиболее распространенные в технике передачи

информации сигналы этому условию не отвечают, и для удовлетворительного воспроизведения формы сигналов обычно необходимо суммирование большого числа гармоник. Метод рядов Фурье в случае исследования сложных периодических сигналов применим больше для задач анализа, нежели для их синтеза.