9. Проверка статистической значимости коэффициента корреляции

Проверка статистической гипотезы о равенстве нулю истинного значения коэффициента корреляции необходима для того, чтобы определить наличие или отсутствие линейной тенденции взаимного изменения двух случайных величин.

Этапы проверки статистической значимости коэффициента корреляции.

Этап 1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что значение коэффициента корреляции между Х и У для генеральной совокупности равен нулю

Н₀: ρ(Х,У) = 0

Нулевая гипотеза - это предположение о том, что между изучаемыми явлениями нет связи, численные значения характеристик объектов не отличаются между собой.

Нулевые гипотезы проверяются с помощью статистических критериев.

Уровень значимости α (альфа) - означает вероятность совершить ошибку при отклонении нулевой гипотезы.

Этап 2. Вычисляется значение коэффициента корреляции

Этап 3. вычисляется критическое значение коэффициента корреляции

t(α=0,05, m= n-2) – табличное значение критерия Стьюдента, на уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы m= n-2.

Этап 4. Сравнение r (Х,У) c r_кр

Если r (Х,У) > r_кр ,то нулевая гипотеза отвергается с вероятностью

P=1- α и утверждается, что между Х и У имеется достоверная зависимость.

Если r (Х,У) < r_кр , то нулевая гипотеза принимается, но не указывается с какой вероятностью

10. Регрессионный анализ

Линейная модель множественной регрессии для генеральной совокупности имеет вид:

У_i = α₀ + α₁ Х_1i + α₂ Х_2i + ... + α_m Х_mi + ε_i,

где У- зависимая переменная (результативный признак);

Х_ji - независимые переменные (факторы);

j – порядковый номер фактора;

i –. номер измерения;

α_j - параметры регрессии, которые обозначаются греческими буквами;

ε_i – случайное возмущение, которое отражает влияние тех факторов, которые не вошли в модель, ошибок наблюдений или измерений.

В эконометрике принято отличать формой записи параметры и их оценки.

Параметры модели для генеральной совокупности мы будем писать греческими, а их оценки для выборочных совокупностей латинскими буквами и называть их будем коэффициентами.

Уравнение множественной регрессии содержит значения неизвестных параметров α₀, α₁, α₂, ..., α_m. Эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные значения, обозначаемые латинскими буквами и называемые коэффициентами, не являются истинными, а представляют собой лишь статистические оценки параметров регрессии.

По признаку количества факторов, регрессионные модели делятся на два вида одно факторные, если в модели находится один фактор и многофакторные, если в модели находится два и более факторов.

Рассмотрим виды однофакторных регрессионных моделей.

Рассмотрим структуру линейной однофакторной регрессионной модели

У_i= a₀+a₁Х_i + e_i = У_рi + е_i

Где У – зависимая переменная;

Х – фактор, влияющий на У;

е – остатки, учитывающие влияние неучтенных факторов;

i – порядковый номер измерения;

У_рi = a₀+a₁Х_i – расчетные значения зависимой переменной;

а₀ – свободный коэффициент, равный У_р при Х=0;

а₁ – коэффициент, стоящий перед Х, указывает на сколько изменится У_р при изменении Х на 1.

У_рi = a₀+a₁Х_i является математической функцией, которая имеет следующее название: аддитивная, линейная относительно коэффициентов и переменных функция, сокращенно называемая линейной функцией.

Функция называется аддитивной, если ее коэффициенты соединены знаком плюс.

Функция называется линейной, если ее коэффициенты и переменные находятся в первой степени.

Приводим несколько видов аддитивных однофакторных функций:

У_рi = a₀+a₁/Х_i - гипербола: аддитивная, линейная относительно коэффициентов и нелинейная относительно фактора функция (так как Х находится в степени -1);

У_рi = a₀+a₁Х_i + а₂Х²_i – парабола: аддитивная, линейная относительно коэффициентов и нелинейная относительно фактора (так как фактор Х находится в степени 2);

У_рi = a₀+a₁lnХ_i - логарифмическая функция: аддитивная, линейная относительно коэффициентов и нелинейная относительно фактора Х (так как фактор Х имеет преобразование lnХ).

Все неаддитивные нелинейные модели можно разделить на три вида: степенные, показательные и экспоненциальные.

Числа в степени имеют свои наименования, например, а^в - а в степени в имеют следующие названия а- основание степени, в – показатель степени.

В зависимости от того где находится фактор Х в основании степени или является показателем степени, различают соответственно степенные и показательные виды нелинейных моделей.

У_рⁱ = a⁰*X^ia1 – степенная функция, так как Х является основанием степени;

У_рⁱ = a⁰*a^1xi– показательная функция, так как Х является показателем степени;

У_рi =а₀e^a1*Хi - экспоненциальная функция, так как Х является показателем степени, в основании степени стоит е – основание натурального логарифма.

Функция называется мультипликативной, если ее факторы соединены знаком умножения, например,

Приводим мультипликативную двухфакторную степенную модель:

У_рi = а₀ Х_1i^а1 Х_2i ^а2,

которая называется производственной функцией и носит название функция Кобба – Дугласа.