3. Массив чисел

Каждое предприятие имеет несколько показателей своей деятельности.

Каждый показатель может иметь несколько численных значений, которые назовем массивом чисел.

Допустим, имеется массив чисел: 10, 15, 19, 21, который можно обозначить: Х₁, Х₂, Х₃, Х₄ или Х_i, i = 1, 2, 3, 4

Массив чисел может обладать многими характеристиками, одной из которой является объемом выборки или количество чисел в массиве, обозначаемое n.

В предложенном массиве имеется 4 числа, следовательно, n= 4.

Массив чисел можно представить в разных видах:

- перечислением: Х₁=10, Х₂= 15, Х₃= 19, Х₄= 21;

- вертикальной таблицей:

i	Хi
1	Х1
2	Х2
3	Х3
4	Х4

i	Хi
1	10
2	15
3	19
4	21

- горизонтальной таблицей:

i	1	2	3	4
Хi	10	15	19	20

Изучим основные характеристики массива чисел, которые будут использоваться в эконометрике: сумма массива чисел, среднее значение массива чисел, вариация массива чисел, дисперсия массива чисел, среднее квадратическое значение массива чисел.

Сумма массива чисел ΣХ_i.

Сумма массива чисел, объемом выборки равного n, может иметь следующие виды:

Сумма массива чисел для объема выборки равного четырем имеет следующее обозначение:

ΣХ_i = Х₁+Х₂+Х₃+Х₄ = 10+15+19+21= 65

i	Хi
1	10
2	15
3	19
4	21
Сумма	65

Среднее значение массива чисел Х_с = (ΣХ_i)/n

Среднее значение массива чисел равно сумме массива чисел деленное на объем выборки.

Х_с = (ΣХ_i)/n = (Х₁+Х₂+Х₃+Х₄)/4 = (10+15+19+21)/4=65/4=16,25.

Расчетные формулы среднего значения представлены в таблице 1.

Таблица 1 – расчетные формулы среднего значения массива чисел

i	Хi
1	Х1
2	Х2
3	Х3
4	Х4
Сумма	Х1+Х2+Х3+Х4
Среднее Хс	(Х1+Х2+Х3+Х4)/4

Результаты расчетов представлены в таблице 2.

Таблица 2 – результаты расчетов среднего значения массива чисел

i	Хi
1	10
2	15
3	19
4	21
Сумма	65
Среднее	16,25

Вариация массива чисел С_х=Σ(Х_i-Х_с)².

Вариация массива чисел равна сумме квадратов отклонений фактических значений Х от своего среднего значения Х_с, и имеет следующее обозначение:

С_х = Σ(Х_i-Х_с)² = (Х₁-Х_с)² + (Х₂-Х_с)² + (Х₃-Х_с)² +(Х₄-Х_с)² = (10-16,25)²+(15-16,25)²+(19-16,25)²+(21-16,25)² = 39,06+1,56+7,56+22,56= 70,74

Следует обратить Ваше внимание на то, что значения Х являются переменными, а среднее значение Х_с является константой для данного массива значений Х. При расчетах в среде Есе1 эту особенность следует учесть.

Расчетные формулы вариации представлены в таблице 3.

Таблица 3 – расчетные формулы вариации массива чисел

i	Хi	(Хi-Хс)2
1	Х1	(Х1-Хс)2
2	Х2	(Х2-Хс)2
3	Х3	(Х3-Хс)2
4	Х4	(Х4-Хс)2
Сумма	Х1+Х2+Х3+Х4	(Х1-Хс)2+(Х2-Хс)2+(Х3-Хс)2+(Х4-Хс)2
Среднее Хс	(Х1+Х2+Х3+Х4)/4

Результаты расчетов представлены в таблице 4.

Таблица 4 – результаты расчетов вариации

i	Хi	(Хi-Хс)2
1	10	39,06
2	15	1,56
3	19	7,56
4	21	22,56
Сумма	65	70,74
Среднее	16,25

Дисперсия массива чисел S² = (Σ(Х_i-Х_с)²)/(n-1).

Дисперсия массива чисел равна сумме квадратов отклонений фактических значений Х от своего среднего значения Х_с, деленное на число степеней свободы n-1 и имеет следующий вид:

S² = (Σ(Х_i-Х_с)²)/(n-1)= 70,74/(4-1) = 23,58,

i	Хi	(Хi-Хс)2
1	10	39,06
2	15	1,56
3	19	7,56
4	21	22,56
Сумма	65	70,74
Среднее	16,25
S2		23.58

Пояснение. Дисперсия имеет число степеней свободы n-1, по тому, что на число независимых значений величины Х_i-Х_с накладывается одно ограничение Σ(Х_i-Х_с) = 0. Если известны Х_с и все n-1 отклонения Х_i-Х_с , то последнее отклонение Х_n-Х_с можно вычислить с учетом того, что Σ(Х_i-Х_с) = 0.

В статистике, которая используется в финансово - экономическом анализе хозяйственной деятельности предприятия, дисперсию принято вычислять по смещенной формуле:

S_с² = (Σ(Х_i-Х_с)²)/n.

В математической статистике и эконометрике дисперсия вычисляется по несмещенной формуле:

S² = (Σ(Х_i-Х_с)²)/(n-1).

Поэтому дисперсионный анализ в статистике и эконометрике имеют некоторые отличия.

Среднее квадратическое отклонение массива чисел S=

Среднее квадратическое отклонение массива чисел равно корню квадратному из дисперсии и имеет следующий вид:

S= = = 4,85

i	Хi	(Хi-Хс)2
1	10	39,06
2	15	1,56
3	19	7,56
4	21	22,56
Сумма	65	70,74
Среднее	16,25
S2		23,58
S		4,85

Характеристики массива чисел могут использоваться для решения различных задач.

Например, если известно, что численные значения массива чисел имеют нормальный закон распределения, то с помощью среднего значения и среднего квадратического отклонения можно полностью восстановить значения массива любого объема выборки. Решение этой задачи можно найти в учебниках по математической статистике.

На сайте: http://math.semestr.ru/group/variations.php в режиме он-лайн можно вычислить следующие характеристики массива чисел:

- средняя взвешенная, дисперсия, среднеквадратическое отклонение;

- мода, медиана, размах вариации;

- квартили, децили, квартильный коэффициент дифференциации;

- линейный коэффициент вариации, коэффициент вариации;

- среднее линейное отклонение;

- коэффициент осцилляции.

Использование в Ехсе1 матричных операций: транспонирование, произведение, обратная матрица просто и доступно имеется в литературе¹