24. Сравнение средних значений
Хочется показать метод определения статистически достоверного влияния фактора на показатели деятельности объектов исследования.
Данный метод основан на сравнении средних значений и получил очень широкое распространение в практике научных исследований.
Например, руководство предприятия проводит мероприятие по улучшению продукции, процессов или систем. Возникает вопрос, как определить факт влияния мероприятия на показатели предприятия?
Для этой цели используется метод сравнения средних значений показателей до мероприятия и после. Если средние значения показателей предприятия до и после мероприятия будут существенно отличаться между собой, то влияние мероприятия будет статистически достоверно доказано.
Данный метод используется во всех сферах человеческой деятельности: экономике, сельском хозяйстве, медицине, политики, космонавтике, педагогике.
Он используется в статистических методах, например в дисперсионном анализе, в дисциплинах: управлении качеством, стратегическое планирование и прогнозирование, экономика предприятий, бухгалтерский учет, анализ хозяйственной деятельности, планирование эксперимента и т.д.
Этот метод получил широкое распространение, по тому, что основан на методе сравнения деятельности объекта до и после мероприятий или воздействия фактора, а это является основой для научного познания действительности и относится больше к философскому понятию «анализ».
Метод сравнения относится к восприятию органами чувств различий в поступлении сигналов и обнаружения объекта.
Постановка задачи.
Имеются две группы единиц наблюдения объемом n1 и n2 .
Первая группа называется контрольной, вторая экспериментальной.
В контрольной группе используется традиционное воздействие фактора на единицы наблюдения.
В экспериментальной группе используется другое воздействие фактора на единицы наблюдения.
У каждой единице наблюдения определяется один и тот же показатель, имеющий численное значение.
При сравнении средних значений показателя единиц наблюдения необходимо иметь в виду два случая:
1) сравниваются средние двух независимых выборок, когда единицы наблюдения первой выборки не связаны никаким общим условием с единицами наблюдения второй выборки;
2) сравниваются две сопряженные выборки, в которых единицы наблюдения первой выборки связаны (сопряжены) каким-то общим условием с единицами наблюдения второй выборки.
Например, в контрольной выборке больных лечили одним лекарством, затем в экспериментальной выборке других больных лечили другим лекарством. Такие выборки называются независимыми.
В контрольной выборке больных лечили одним лекарством, затем в экспериментальной выборки для тех же больных отменили старое лекарство и стали лечить другим лекарством. Такие выборки называются сопряженными.
В первом случае по критерию Стьюдента оценивается существенность разности средних d = Хс1 - Хс2 , а во втором существенность средней разности dc = ∑d/n.
Оценка разности средних независимых выборок
В теории статистики доказывается, что ошибка разности средних арифметических независимых выборок при одинаковом числе наблюдений n1=n2 , определяется соотношением
где md - ошибка разности средних,
mx1 и mx2 – ошибки сравниваемых средних арифметических Хс1 и Хс2 ;
ошибка средней
арифметической;
S= - среднее квадратическое отклонение;
S2 = (Σ(Хi-Хс)2)/(n-1). – дисперсия.
Далее проводится стандартная процедура проверки статистической гипотезы с помощью критерия Стьюдента.
Шаг 1. Выдвигается нулевая гипотеза, состоящая в том, что средние значения равны между собой
Н0: Хс1 = Хс2 .
Шаг 2. Вычисляется фактическое значение критерия Стьюдента
где d = Xc1-Xc2 – разность средних значений;
Шаг 3. Определяется критическое значение критерия Стьюдента по таблицам или с помощью функции Ехсе1 «Стьюдраспробр» с уровнем значимости α (альфа) = 0,05 и числе степеней свободы k = n1+n2-2:
tкр (α= 0,05; k=n1+n2-2)
Шаг 4. Сравниваются критерии Стьюдента фактическое и критическое.
Если t ≥ tкр, то нулевая гипотеза отклоняется с вероятностью 1-α = 1-0,05=0,95 и утверждается, что средние достоверно отличаются между собой или фактор оказал достоверное влияние на изучаемые единицы наблюдения.
Если t < tкр, то нулевая гипотеза принимается и утверждается, что различие средних статистически не доказано или влияние фактора на изучаемые единицы наблюдения статистически не доказано.
Для сопряженных выборок ошибку разности средних вычисляют разностным методом.
Сущность его заключается в том, что оценивается не разность средних d = Хс1 - Хс2 , а существенность средней разности dc .
dc= ∑di /n =∑(Х1i-X2i )./n
di =Х1i-X2i
Ошибку средней разности вычисляют по формуле
Фактический критерий Стьюдента вычисляют по формуле
t= dc/mdc
Табличное значение критерия Стьюдента определяют по таблицам или с помощью функции Ехсе1 «Стьюдраспробр»
tкр(α=0,05; k=n-1),
где n – число сопряженных пар.
Далее проводится стандартная процедура проверки статистической гипотезы с помощью критерия Стьюдента.
Шаг 1. Выдвигается нулевая гипотеза, состоящая в том, что средняя разность равна нулю
Н0: dc = 0.
Шаг 2. Вычисляется фактическое значение критерия Стьюдента
t= dc/mdc
dc= ∑di /n =∑(Х1i-X2i )./n
di =Х1i-X2i
n – количество сравниваемых пар
Шаг 3. Определяется критическое значение критерия Стьюдента по таблицам или с помощью функции Ехсе1 «Стьюдраспробр» с уровнем значимости α (альфа) = 0,05 и числе степеней свободы k = n-1:
tкр (α= 0,05; k=n-1)
Шаг 4. Сравниваются критерии Стьюдента фактическое и критическое.
Если t ≥ tкр, то нулевая гипотеза отклоняется с вероятностью 1-α = 1-0,05=0,95 и утверждается, что средняя разность достоверно отличается от нуля или фактор оказал достоверное влияние на изучаемые единицы наблюдения.
Если t < tкр, то нулевая гипотеза принимается и утверждается, что отличие от нуля средней разности статистически не доказано или влияние фактора на изучаемые единицы наблюдения статистически не доказано5.
Для проведения расчетов можно использовать таблицы Ехсе1 или программу Ехсе1, расположенной по адресу: «Данные», «Анализ данных», «Парный двухвыборочный t тест для средних».