17. Расчетные формулы характеристик линейной модели

Приводим расчетные формулы всех характеристик линейной регрессионной модели: У_i = а₀+а₁Х_i+е_i.

Расчет коэффициентов а₁ и а₀

Коэффициент а₁ равен частному от деления числителя на знаменатель.

В числителе стоит сумма произведений отклонений Х и У от своих средних значений.

В знаменателе стоит сумма квадратов отклонений Х от своего среднего значения.

a₀= У_c - a₁*Х_c,

Коэффициент а₀ равен У среднее минус произведение а₁ на среднее значение Х.

Ошибка модели Е.

Ошибка модели вычисляется по формуле:

где Е – ошибка модели, выраженная в единицах измерения У,

n - объем выборки,

k - количество всех коэффициентов в модели,

k = 2 для модели У_i = а₀+а₁*Х_i+е_i,

У_рi = а₀+а₁*Х_i

Ошибка модели Е равна корню квадратному из суммы квадратов остатков, деленное на число степеней свободы остатков, равного объему выборки минус количество всех коэффициентов в модели.

Ошибка модели, выраженная в процентах, вычисляется по формуле:

где Е - ошибка модели,

У_с – среднее значение У.

Ошибка модели, выраженная в процентах, равна ошибки модели, выраженной в единицах измерения У, умноженной на 100 и деленная среднее значение У.

Расчет ошибок коэффициентов а₀ и а₁ :

S_а0 - ошибка коэффициента а₀,

Ошибка коэффициента а₀ или среднее квадратическое отклонение а₀ от своего математического ожидания α₀ равна произведению Е – ошибки модели на корень квадратный из суммы квадратов значений Х, деленных на произведение объема выборки на сумму квадратов отклонений Х от своего среднего значения.

S_a1 - ошибка коэффициента а₁.

Ошибка коэффициента а₁ или среднее квадратическое отклонение а₁ от своего математического ожидания α₁ равна произведению Е – ошибки модели на корень квадратный из единицы, деленной на сумму квадратов отклонений Х от своего среднего значения.

Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации равен доли объясненной вариации от общего варьирования зависимой переменной и вычисляется по формуле:

где

- вариация регрессии равна сумме квадратов отклонений расчетных значений У от среднего значения У;

- вариация общая равна сумме квадратов отклонений значений У от среднего значения У;

- вариация остатков равна сумме отклонений значений У от расчетных значений У.

Все три вариации связаны между собой вариационным уравнением

С_общ = С_рег+С_ост

Множественный коэффициент корреляции

Множественный коэффициент корреляции равен корню квадратному из коэффициента детерминации.

Критерий Фишера

Критерий Фишера равен делению дисперсии регрессии на дисперсию остаточную и вычисляется по формуле:

где S²_рег = C_рег/(k-1) = - дисперсия регрессии.

S ²_оcт = C_ост/(n-k) = - дисперсия остатков,

S²_общ = С_общ/(n-1) = - дисперсия общая,

Дисперсии регрессионной модели вычисляются делением соответствующей вариации на свое значение числа степеней свободы.