15. Предпосылки мнк

В регрессионной модели

У_i = α₀+ α₁Х_i+ε_i,

возмущения _i относятся к генеральной совокупности исследователю не известны, то на них накладываются определенные ограничения в виде предпосылок МНК.

Если предпосылки МНК относительно возмущения _i выполняются, то полученные численные значения коэффициентов а₀ и а₁, являющиеся оценками параметров ₀ и ₁, будут обладать свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Проверять предпосылки МНК относительно _i будем с помощью остатков е_i модели У_i = а₀+а₁Х_i+е_i.

Приводим следующие пять предпосылок МНК относительно остатков е_i:

1 – остатки являются случайными величинами;

2 - средняя величина остатков равна нулю, остатки не зависят от Х;

3 – остатки являются гомоскедастичными (однородными) — дисперсии остатков являются одинаковыми для всех интервалов значений Х;

4 - отсутствие автокорреляции остатков или отсутствие связи остатков между собой;

5 – остатки подчиняются нормальному закону распределения⁴.

Имеется следующее ограничение применения МНК.

МНК применим к регрессионным моделям, которые являются аддитивными, линейными относительно коэффициентов и переменных.

16. Дисперсионный анализ регрессионной модели

Дисперсия - свойство переменной Х, которая вычисляется делением вариации на ее число степеней свободы по формуле:

где n - 1 - число степеней свободы вариации,

n - объем выборки,

- вариация признака Х.

Дисперсионный анализ регрессионной модели состоит в разложение вариации зависимой переменной на вариации уравнения регрессии и остатков, см. рис 7.

У

Рис. 7- Графическое представление разложения отклонения от среднего на составляющие элементы

Для каждой точки Х_i справедливо следующее соотношение

Если левую и правую часть этого соотношения возвести в квадрат и просуммировать по всем измерениям, то будет справедливо соотношение

,

где =0.

Получаем основное вариационное уравнение:

С_общ = С_ост + С_рег,

С_общ.- вариация общая,

С_ост. – вариация остатков,

С_рег – вариация регрессии,

которое читается следующим образом: - вариация общая равна вариации остатков плюс вариация регрессии.

Составляющие элементы основного вариационного уравнения имеют соответствующие значения степеней свободы, которые связаны тождеством:

С_общ = С_ост + С_рег,

(n – 1) = (n – k) + (k – 1),

где n - 1 –число степеней свободы для вариации общей;

n - k –число степеней свободы для вариации остатков;

k - 1 –число степеней свободы для вариации регрессии;

k – количество коэффициентов в уравнении регрессии.

Дисперсии регрессионной модели вычисляются делением соответствующей вариации на свое значение числа степеней свободы по следующим формулам:

S²_общ = С_общ/(n-1) = - дисперсия общая,

S²_оcт = C_ост/(n-k) = - дисперсия остатков,

S²_рег = C_рег/(k-1) = - дисперсия регрессии.