12. Примеры интерпретации коэффициентов а0 и а1
Приводим примеры экономической интерпретации коэффициентов а0 и а1 для различных эконометрических моделей.
Пример 1.
Получено уравнение
Ур = а0+а1Х1,
где У – товарооборот,
Х1 – численность продавцов,
а1 означает, насколько увеличится товарооборот при изменении числа продавцов на единицу или среднюю производительность работы продавцов.
Пример 2.
Получено уравнение
Ур = а0+а1Х1,
где У – вес продукции,
Х1 – длина продукции, метр,
а1 означает вес одного метра продукции или насколько увеличится вес продукции при изменении длины продукции на единицу.
Пример 3.
Получено уравнение
Ур = а0+а1Х1,
где У – товарооборот за месяц,
Х1 – месяцы,
а1 означает насколько увеличится товарооборот при изменении времени на один месяц или месячный товарооборот.
Пример 4.
Получено уравнение
Ур = а0+а1Х1,
где У – количество километров, пройденных автомобилем;
Х1 – затраты бензина,
а1 означает количество километров, которое в среднем проходит автомобиль при расходовании одного литра бензина.
Пример 5.
Получено уравнение:
Ур = а0+а1Х1,
где У – прибыль,
Х1 – размер основных фондов,
а0 – означает размер прибыли, получаемый предприятием без использования основных средств,
а1 означает фондоотдачу или насколько увеличится прибыль при изменении основных фондов на единицу.
Пример 6.
Получено уравнение:
Ур = а0+а1Х1,
где У – получаемая прибыль от реализации единицы продукции (руб.)
Х1 – величина оборотных средств предприятия (руб.)
а0 – средний размер прибыли реализации, не зависящий от объема оборотных средств, так как значение Х1 = 0.
а1 - означает средний размер прибыли от реализации единицы продукции, приходящийся на один рубль оборотных средств предприятия.
Пример 7.
Получено уравнение:
Ур = а0+а1Х1,
где У – количество приготовленных пирожков (штук.)
Х1 – количество израсходованной муки (кг.)
а1 - означает среднее количество пирожков, которые можно изготовить из одного кг. муки.
Пример 8.
Получено уравнение:
Ур = а0+а1Х1,
где У – количество изготовленных носовых платков (штук)
Х1 – количество израсходованного материала (м2.)
а1 - означает среднее количество носовых платков, которые можно изготовить из одного м2 материала.
13. Постановка задачи метода наименьших квадратов
Известно несколько методов оценки параметров модели. Широкое распространение оценки параметров модели получил метод наименьших квадратов.
Постановка задачи метода наименьших квадратов: необходимо определить такие значения коэффициентов а0 и а1, при которых сумма квадратов остатков ∑е2 будет минимальной,
где ei = Уi – (а0 + а1*Хi) остатки регрессионной модели Уi = а0 + а1*Хi + ei
Используя метод наименьших квадратов можно получить формулы для расчетов коэффициентов в скалярном и матричном выражении.
Расчет коэффициентов линейного уравнения в скалярном выражении
a0= Уc - a1*Хc
Коэффициент а1 равен частному от деления числителя на знаменатель.
В числителе стоит сумма произведений отклонений Х и У от своих средних значений.
В знаменателе стоит сумма квадратов отклонений Х от своего среднего значения.
Коэффициент а0 равен У среднее минус произведение а1 на среднее значение Х.
Расчет коэффициентов линейного уравнения в матричном выражении
А = (Х'Х)-1Х'У
где Х – матрица исходных значений факторов;
У – вектор столбец исходных значений зависимой переменной.
(Х'Х)-1- обратная матрица, полученная от матрицы Х'Х, является матрицей ошибок оценок параметров модели.
Х'- транспонированная матрица, полученная от матрицы Х.
Расчетная формула А = (Х'Х)-1Х'У читается следующим образом:
вектор столбец значений коэффициентов А равен (Х'Х)-1 - обратной матрицы (полученной от произведения транспонированной матрицы Х на исходную матрицу Х), умноженной на транспонированную матрицу Х, полученный результат умножается на исходную матрицу У.
Расчеты вектора столбца коэффициентов производится в следующей последовательности: вычисляется транспонированная матрица Х', которая умножается на исходную матрицу Х, от полученной матрицы ищется обратная матрица (Х'Х)-1 , которая умножается на транспонированную матрицу Х', полученный результат умножается на исходную матрицу У.