2. Краткие сведения из теории
2.1. Основные параметры нормального закона распределения случайных величин
Многократные измерения необходимо проводить в тех случаях, когда имеются случайные погрешности. Эти погрешности следует рассматривать как случайные события по теории вероятностей. Случайными называются события, появление которых невозможно предусмотреть. Случайные события имеют вероятность между 0 и 1. Ноль соответствует невозможному событию, единица – достоверному, которое происходит обязательно.
Случайные величины могут быть как дискретными, так и непрерывными. Дискретные величины – это только целые числа. Например, число годных или бракованных деталей. Непрерывные величины – это любые значения на числовой оси. Например, действительные размеры обрабатываемых деталей.
Случайные величины могут подчиняться одному из следующих законов распределения:
- нормальный закон, описывающий случайные величины, которые имеют место при большом числе одновременно действующих переменных факторов;
- закон равной вероятности, описывающий непрерывные случайные величины, которые достоверно встречаются на некотором интервале от а до b и вероятность наблюдения случайной величины в этом интервале постоянна (движение секундной стрелки часов и отсчет времени);
- закон Максвелла, или закон существенно положительных величин, используемый для определения погрешностей эксцентриситета и формы поверхностей;
- закон треугольника (Симпсона) и другие.
Результаты измерений могут содержать как систематические, так и случайные погрешности. Выясненные систематические погрешности необходимо устранить. Например, проверить годность средства измерений, промыть и очистить контролируемую деталь и т.д.
Свойства случайной величины описываются законом распределения, который устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Функция распределения случайных величин является дифференцируемой функцией, поэтому чаще используют ее первую производную, которую называют плотностью распределения.
Плотность распределения – неотрицательная функция, т.е. кривая распределения всегда лежит выше оси абсцисс (рис.5).
Рис.5. Кривые плотности распределения
при разных значениях
и при наличии систематической погрешности
Аксиомы теории вероятностей:
аксиома случайностей – число положительных событий равно числу отрицательных событий, т.е. площади под кривой распределения справа и слева от оси ординат равны 0,5;
аксиома распределения – малые по модулю значения случайных событий встречаются чаще, чем большие, т.е. кривая имеет колоколообразную форму и асимптотически приближается к оси абсцисс.
При изучении свойств случайной величины используют их числовые характеристики, которые выражают наиболее существенные особенности распределения. Центр группирования случайной величины оценивается следующими характеристиками:
- математическое
ожидание –
это среднее значение случайной величины;
т.е. среднее арифметическое значение,
обозначаемое
.
Среднее арифметическое значение
определяется суммированием всех
результатов наблюдений и делением этой
суммы на число выполненных наблюдений.
Эта величина наибольшим образом
приближается к истинному значению:
; (5)
- мода
случайной величины –
это такое значение случайной величины,
в котором плотность вероятности имеет
максимальное значение, это значение
наиболее часто встречается в рассматриваемом
статистическом ряду;
- медиана
(центр симметрии) случайной величины –
это такое значение случайной величины,
которое делит площадь под кривой
распределения на равновеликие участки,
медиана занимает среднее значение в
статистическом ряду. При нечетном числе
измерений медианой будет среднее
значение, а при четном числе измерений
медиана определяется как полусумма
двух значений, расположенных в середине
ряда.
Для нормального закона часто среднее арифметическое значение совпадает с математическим ожиданием, модой и медианой случайной величины (рис.5).
Мерой рассеивания случайных величин выступают:
дисперсия
,
она характеризует рассеивание случайной
величины относительно ее математического
ожидания;среднее квадратичное отклонение (СКО) случайной величины -
,
мкм; СКО имеет такую же размерность,
как исследуемая случайная величина:
,
(6)
где
- абсолютная погрешность i-го
результата (отклонение от среднего
значения).
Чтобы перейти от
учета индивидуальных признаков случайных
событий к универсальному выражению,
пользуются нормированным
отклонением
t
и функцией Лапласа
(функция нормального распределения):
, (7)
где e=2,718 - основание натуральных логарифмов, t – нормированное отклонение, безразмерный коэффициент, равный
, (8)
где ε - доверительный интервал для случайных величин от –t до +t, который оценивается по формуле:
. (9)
Форма кривой нормального распределения (рис.5) зависит от значения среднего квадратичного отклонения .
При малых значениях кривая идет более круто и имеет большее значение по оси ординат. При больших значениях кривая вытягивается вдоль оси абсцисс. При этом площади под кривыми с разными значениями одинаковые.
При изменении центра группирования кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы, так как действует систематическая погрешность.
Вся площадь,
ограниченная кривой распределения и
осью абсцисс, равна 1. Вероятность того,
что значение дискретной случайной
величины принадлежит некоторому
интервалу от
до
,
определяется как разность значений
функции распределения на границах этого
интервала, т.е. равна площади под кривой
распределения, опирающейся на этот
интервал.
Следует вывод: чем больше доверительный интервал, тем больше доверительная вероятность.
Характерные точки для интервалов:
- интервал в
имеет вероятность Р=0,68;
- интервал в
- вероятность Р=0,95;
- интервал в
- вероятность Р=0,997.
Для практических целей часто используют интервал в 6 ,т.е. допуск на изготовление должен соответствовать интервалу в 6σ (рис.6).
Числовые значения функции Лапласа (вероятности) для некоторых значений нормированного отклонения представлены в таблице учебного пособия [4]. Число измерений n влияет на вероятность результата. При числе измерений n<20 расчеты по нормальному закону могут дать большую погрешность. В этом случае рекомендуется использовать закон Стьюдента (псевдоним английского математика и химика В.С. Госсета).
Для оценки случайных
событий практически часто применяют
закон Стьюдента. Значения доверительной
вероятности
при разных значениях коэффициента
Стьюдента и числа измерения n
даны в табл.1.Часто требуется найти ts
по известным
и n
(табл.2).
По закону Стьюдента
значение
(10)
Табл.1. Значения доверительной вероятности
для различных значений
и числа измерений n
(распределение Стьюдента)
|
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
|
||||
2 |
0,705 |
0,758 |
0,795 |
0,823 |
3 |
0,816 |
0,870 |
0,905 |
0,928 |
4 |
0,861 |
0,912 |
0,942 |
0,961 |
5 |
0,884 |
0,933 |
0,960 |
0,975 |
6 |
0,898 |
0,946 |
0,970 |
0,983 |
7 |
0,908 |
0,953 |
0,976 |
0,987 |
8 |
0,914 |
0,959 |
0,980 |
0,990 |
9 |
0,919 |
0,963 |
0,983 |
0,992 |
10 |
0,923 |
0,966 |
0,985 |
0,993 |
11 |
0,927 |
0,969 |
0,987 |
0,994 |
12 |
0,929 |
0,970 |
0,988 |
0,995 |
13 |
0,931 |
0,972 |
0,989 |
0,996 |
14 |
0,933 |
0,974 |
0,990 |
0,996 |
15 |
0,935 |
0,974 |
0,990 |
0,996 |
16 |
0,936 |
0,975 |
0,991 |
0,997 |
17 |
0,937 |
0,976 |
0,992 |
0,997 |
18 |
0,938 |
0,977 |
0,992 |
0,997 |
Табл. 2. Коэффициент Стьюдента для различных значений доверительной вероятности и числа n
|
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
n |
|||||||||
2 |
1,000 |
1,376 |
1,963 |
3,08 |
6,31 |
12,71 |
31,8 |
63,7 |
63,7 |
3 |
0,816 |
1,061 |
1,336 |
1,886 |
2,92 |
4,30 |
6,96 |
9,92 |
31,6 |
4 |
0,765 |
0,978 |
1,250 |
1,638 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
12,94 |
5 |
0,741 |
0,941 |
1,190 |
1,533 |
2,13 |
2,77 |
3,75 |
4,60 |
8,61 |
6 |
0,727 |
0,920 |
1,156 |
1,476 |
2,02 |
2,57 |
3,36 |
4,03 |
6,86 |
7 |
0,718 |
0,906 |
1,134 |
1,440 |
1,943 |
2,45 |
3,14 |
4,71 |
5,96 |
8 |
0,711 |
0,896 |
1,119 |
1,415 |
1,895 |
2,36 |
3,00 |
3,5 |
5,40 |
9 |
0,706 |
0,889 |
1,108 |
1,397 |
1,860 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
5,04 |
10 |
0,703 |
0,883 |
1,110 |
1,383 |
1,833 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
4,78 |
11 |
0,700 |
0,879 |
1,093 |
1,372 |
1,812 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
4,59 |
12 |
0,697 |
0,876 |
1,088 |
1,363 |
1,796 |
2,20 |
2,72 |
3,11 |
4,49 |
13 |
0,695 |
0,873 |
1,083 |
1,356 |
1,782 |
2,18 |
2,68 |
3,06 |
4,32 |
14 |
0,694 |
0,870 |
1,079 |
1,350 |
1,771 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
4,22 |
15 |
0,692 |
0,868 |
1,076 |
1,345 |
1,761 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
4,14 |
16 |
0,691 |
0,866 |
1,074 |
1,341 |
1,753 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
4,07 |
17 |
0,690 |
0,865 |
1,071 |
1,337 |
1,746 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
4,02 |
18 |
0,689 |
0,863 |
1,069 |
1,333 |
1,740 |
2,11 |
2,57 |
2,90 |
3,96 |
19 |
0,688 |
0,862 |
1,067 |
1,330 |
1,734 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
3,92 |
20 |
0,688 |
0,861 |
1,066 |
1,328 |
1,729 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
3,88 |
|
0,674 |
0,842 |
1,036 |
1,282 |
1,645 |
1,96 |
2,53 |
2,58 |
3,29 |
Случайные факторы (погрешности) оцениваются двумя числами:
- доверительной
вероятностью (степенью надежности)
;
- доверительным
интервалом
.
Доверительный интервал для закона Стьюдента определяется по следующей формуле:
. (11)
Следовательно,
,
(12)
т.е. это безразмерный коэффициент Стьюдента.
Интервал для среднего арифметического значения определяется с учетом среднего квадратического отклонения среднего арифметического по формуле (13) или (14):
;
(13)
. (14)
Погрешность среднего арифметического в несколько раз меньше погрешности каждого результата и интервал для него определяется по следующим зависимостям:
- для нормального
закона
;
(15)
- для закона
Стьюдента
.
(16)
После обработки результатов измерений, содержащих случайные погрешности, ответ должен быть представлен в следующем виде:
- для закона
Стьюдента
при
или
- для нормального
закона
при
,
т.е. необходимо указать среднее арифметическое значение, интервал, в котором он находится, и вероятность попадания в этот интервал.
Окончательный результат измерения должен быть округлен, так как лишние знаки дают ложное представление о высокой точности результата.