Тема 8. Булева алгебра в сравнительных исследованиях

Булева алгебра возникла, как исторически первый раздел математической логики в середине ХIХ века, и названа по имени Джорджа Буля (1815-64гг.), который первым представил логику в качестве алгебры классов, связанных операторами «и», «или», и «не». С его работ начинается алгебра логики, в которой методы алгебры используются для операций над высказываниями, в отношении каждого из которых можно утверждать только то, что его содержание истинно или ложно. В компаративистике булева алгебра используется с конца 1980-х гг., как методика анализа качественных признаков.

В булевой алгебре качественное высказывание интерпретируется либо как истинное (наличие качества), либо как ложное (отсутствие качества). Эти два утверждения кодируются двоичной системой исчисления (1 и 0): 1 приписывается истине, 0 – лжи. В сравнительных исследованиях обычно можно обнаружить определенный набор высказываний, который описывает наличие или отсутствие в группе регионов или стран некоторых условий, а соответственно – наличие или отсутствие некоторых следствий из этих условий. Следовательно, используя бинарные обозначения, можно закодировать как систему условий, так и систему следствий и полученные ряды цифр свести в таблицу истинности, в которой каждой комбинации условий будет соответствовать определенное следствие.

Рис.1 Гипотетическая таблица истинности, показывающая сочетания трех причин для одного следствия

Условие А.	Условие В.	Условие С.	Следствие F.	Число примеров
0	0	0	0	9
1	0	0	1	3
0	1	0	1	2
0	0	1	1	2
1	1	0	1	1
1	0	1	1	2
0	1	1	1	1
1	1	1	1	3

В представленной таблице цифрой 1 закодировано наличие условий А, В, С и следствия F, 0 – отсутствие таковых условий. Причем неважно, что число примеров в каждой комбинации различно, важно лишь то, что все ряды таблицы истинности (кроме первого) показывают наличие следствия. Таблица истинности иллюстрирует гипотезу, согласно которой следствие F наступает в случае сочетания условий А, В, и С. Это сочетание (дизъюнкция) обозначает операцию соединения двух и более высказываний при помощи логического союза «или» для производства более сложного высказывания. Союз «или» не предполагает здесь связи между высказываниями по смыслу, а только по их истинности или ложности. Если из двух высказываний хотя бы одно является истинным, то и полученное сложное высказывание является так же истинным. То есть, если А+В=F, то F=1 при А=1 и В=1 или при А=1 и В=0, или при А=0 и В=1. Другими словами в булевой алгебре 1+1=1, 1+0=1 и 0+1=1. Высказывание А+В=F читается: если А истинно или В истинно, то F также истинно. При двух ложных высказываниях полученное высказывание является также ложным, т.е. 0+0=0. Следовательно, для описания гипотезы, предложенной в таблице истинности логическое высказывание будет иметь вид F=А+В+С.

Высказывание, соединенное логическим оператором «и» является логическим произведением и описывается с помощью простого соположения (АВ). Прописными буквами обозначаются истинные высказывания (наличие качества), а строчными – ложные (отсутствие качества). Таким образом, второй ряд приведенной таблицы истинности может быть представлен логическим выражением Abc. Для нашего примера, используя логические операторы «и» и «или», можно записать суммарное выражение для F следующей формулой:

F=Аbc+aBc+ abC+ABc+AbC+aBC+ABC

После представления таблицы истинности в виде формулы, гипотеза о наступлении следствия F, в случае сочетания условий А,В и С, подвергается проверке с помощью техники булевой минимизации. Основное правило минимизации, используемое в качественном сравнительном исследовании, состоит в следующем: Если два булевых выражения, говорящих об одном и том же следствии, различаются между собой только одним условием, тогда оно может быть упразднено при построении более простого объединенного выражения. Например, высказывания АВс и Abc оба производят результат F, но при этом отличаются наличием и отсутствием одного и того же условия b и В. Итогом минимизации этих двух выражений станет произведение Ас. Процедура минимизации продолжается пока это возможно. В окончательном варианте процесс минимизации нашего гипотетического выражения производит редуцированное равенство: F=А+В+С, что доказывает нашу гипотезу.

Таким образом, использование булевой алгебры в сравнительном исследовании позволяет решать ряд задач. Во-первых, булева алгебра позволяет фальсификацию и определение гипотез сравнительного исследования. Во-вторых, булева алгебра позволяет включить в анализ максимальное число возможных комбинаций условий. В-третьих, она позволяет осуществлять типологию процессов и феноменов, вовлеченных в сравнительное исследование. В-четвертых, булев подход позволяет осуществить оценку взаимодополняющих или конкурирующих гипотез. В-пятых, техника булевого анализа помогает одновременно исследовать целостность причин и следствий, а также отдельных элементов этой целостности.