Кут між векторами умови колінеарності та компланарності векторів Кут між векторами

За означенням скалярного добутку: × = , а отже, кут між векторами можна знайти за формулою: .

Так як скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх однойменних координат, тобто , а модуль вектора знаходиться за формулою , то одержимо формулу для обчислення косинуса кута між векторами:

(1)

Якщо ^ , тоді .

Отже, маємо умову перпендикулярності двох векторів: × = 0 – ненульові вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Приклад. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах = (2,1,0) та = (0,-2,1).

Розв’язання. За умовою задачі паралелограм побудовано на векторах та (рис. 1).

Рис. 1

Позначимо цей паралелограм АВСD, де .

Діагоналі паралелограма, побудованого на векторах та , зображаються векторами та Знайдемо координати цих векторів для заданих векторів та :

= (2+0; 1+(-2); 0+1) = (2; -1; 1)

= (2-0; 1-(-2); 0-1) = (2; 3; -1)

Тепер за формулою (1) можна знайти косинус потрібного кута, який позначимо :

З рівності випливає, що , тобто ці вектори взаємно перпендикулярні.

Умова колінеарності векторів

Два вектори простору називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій чи паралельні одній прямій.

Дослідити вектори на колінеарність можна за допомогою їх векторного добутку.

З означення векторного добутку випливає, що , де - кут між векторами і .

Нехай дано ненульові вектори і . Якщо вектори і колінеарні, то кут між ними дорівнює або . Так як , то за наведеною формулою маємо: . Тому умову колінеарності векторів можна сформулювати так: ненульові вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх векторний добуток дорівнює нулю.

Враховуючи спосіб запису векторного добутку двох векторів простору і у вигляді визначника третього порядку:

,

запишемо умову колінеарності векторів у координатному вигляді: ненульові вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх відповідні координати пропорційні, тобто має місце співвідношення:

(2)

Наведене співвідношення випливає з властивості визначників, згідно з якою у випадку двох пропорційних рядків визначник дорівнює нулю.

Приклад. При яких значеннях і вектори і колінеарні?

Розв’язання. Скориставшись формулою (2), одержимо співвідношення:

.

З пропорції маємо, що , звідси, .

Аналогічно з пропорції одержимо: , а тому .

Таким чином, дані вектори колінеарні при і .

Умова компланарності векторів

Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині чи паралельні одній площині.

Дослідити трійку векторів на компланарність можна за допомогою їх змішаного добутку.

Умова компланарності: Три ненульові вектори простору будуть компланарними тоді і тільки тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулю, тобто для векторів , і виконується формула:

(3)

Приклад. Перевірити, чи будуть вектори , , компланарними.

Розв’язання. Скориставшись умовою (3), знайдемо мішаний добуток векторів:

Оскільки мішаний добуток дорівнює нулю, то дані вектори компланарні.