Критерій сумісності системи лінійних рівнянь – теорема кронекера-капеллі

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці цієї системи дорівнює рангу розширеної матриці, тобто .

Якщо ранг дорівнює кількості невідомих ( ), то система визначена, якщо ж , то маємо невизначену систему. У такому випадку змінних вважаються базисними, а решта змінних – вільними. Надаючи вільним змінним різних значень, можна одержати різні розв’язки системи.

Приклад 1. Дослідити на сумісність систему лінійних рівнянь:

Розв’язання. Випишемо розширену матрицю системи і зведемо її до ступінчастого вигляду:

Так як , , то система несумісна. Дійсно, відтворивши останнє рівняння системи за третім рядком розширеної матриці, дістанемо: 0=-1, що неможливо.

Приклад 2. Розв’язати систему лінійних рівнянь:

Розв’язання. Використовуючи елементарні перетворення, зведемо розширену матрицю системи до ступінчастого вигляду:

Оскільки , то система сумісна. При цьому (2<4), і тому система невизначена. Знайдемо розв’язки системи у загальному вигляді, розв’язавши систему рівнянь відносно та . З другого рівняння системи одержимо: . З першого рівняння: . Таким чином, розв’язок системи при ; має вигляд: ( ; ; ; ).

Прикладні задачі курсів спецдисциплін, які приводять до систем лінійних рівнянь та їх розв’язування

В економічний задачах алгебра матриць використовується як засіб збереження інформації в табличній формі.

Приклад 1. Взуттєва фабрика спеціалізується з випуску виробів трьох типів продукції , і , використовуючи при цьому сировину трьох видів , і . Норми витрат кожної сировини на одну пару взуття і обсяг витрат сировини на один день задані таблицею:

Вид сировини	Норма витрат сировини на одну пару			Витрати сировини на 1 день
	П1	П2	П3
S1	6	4	5	2400
S2	4	3	1	1450
S3	5	2	3	1550

Знайти щоденний обсяг випуску кожного типу взуття.

Розв'язання.

Нехай щоденно фабрика випускає пар виробів , пар виробів і пар виробів . Тоді згідно з витратами сировини кожного виду маємо систему рівнянь:

+ + = 2400,

+ + = 1450,

+ + = 1550.

Розв'яжемо дану систему за формулами Крамера:

= = , звідси, система має єдиний розв’язок.

= = ,

= = ,

= = .

Отже, = = = , = = = , = = = ,

а це означає, що фабрика випускає 150 пар взуття типу , 250 пар типу , 100 пар типу .

Приклад 2. Галузь складається з n підприємств, кожне з яких випускає по одному виду продукції в обсязі , і , одиниць. Для забезпечення свого виробництва підприємство використовує частину продукції, яка випускається ним самим та іншими підприємствами. Нехай – доля продукції і-го підприємства, яка використовується j-м підприємством для забезпечення випуску своєї продукції обсягом одиниць.

Знайти обсяг кінцевого продукту у_і, тобто кількість продукції і-го підприємства для реалізації поза даною галуззю.

Розрахунки провести для випадку, коли = і = мають відповідно вигляд

= і = .

Розв'язання. Позначимо через Y матрицю – стовпчик

= .

Очевидно, що = - , і , або в матричній формі Y=X-AX, тобто Y=(E-A)X, E- одинична матриця.

Для нашого конкретного випадку матимемо:

= = = .

Питання для самоперевірки

1. Дайте означення мінора та алгебраїчного доповнення елемента матриці. Наведіть приклад.

2. На які типи поділяються системи лінійних рівнянь за кількістю розв’язків?

3. Сформулюйте теорему Кронекера-Капеллі. Вкажіть її значення при розв’язуванні систем лінійних рівнянь.

Завдання

1. Наведіть приклади (по одній кожного типу, з розв’язками методом Гаусса) систем лінійних рівнянь, які…

• не мають розв’язків (несумісні),

• мають один розв’язок (визначені),

• мають безліч розв’язків (невизначені).

2. Розв’яжіть системи лінійних рівнянь матричним методом:

а) б)

Рекомендована література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. – К.:ЦУЛ, 2010. - С.90-92; 99-101.

2. Васильченко І.П. Вища математика для економістів: Підручник. – К.: Знання – Прес, 2002. - С.47-57.

3. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер и др. – М.: ЮНИТИ, 1999. - С.38-49.

4. Математика для економістів: теорія та застосування./ Лавренчук В.П. та ін. - К.: Кондор, 2007. - С.29-40.

5. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум: Навч. посібник. – К.:ЦУЛ, 2005. - С.46-48; 67-70.

6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. – М.: Высш.шк., 1987. – С. 49-50.