Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку

У загальному випадку диференціальне рівняння другого порядку має вигляд:

Загальний розв’язок рівняння містить дві довільні сталі:

і за рахунок вибору довільних сталих можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв’язку , що задовольняє початкові умови

У деяких випадках можна знизити порядок диференціального рівняння другого порядку і звести до диференціального рівняння першого порядку.

І. У диференціальному рівнянні відсутня шукана функція.

Рівняння виду зводяться до диференціального рівняння першого порядку, якщо візьмемо

Отримаємо рівняння:

Якщо буде знайдено загальний розв’язок цього рівняння то дістанемо

Якщо диференціальне рівняння другого порядку має вигляд то беремо і дістаємо рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними:

Приклад 1. Розв’яжемо диференціальне рівняння другого порядку

 Розв’язання. При дістанемо диференціальне рівняння першого порядку:

Знайдемо загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку:

Приклад 2. Розв’яжемо диференціальне рівняння

 Розв’язання. Вважаючи, що знижуємо порядок і приходимо до диференціального рівняння першого порядку:

Інтегруючи z, дістаємо загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку:

ІІ. Диференціальне рівняння не містить явно аргументу

Порядок ДР можна знизити, якщо за нову незалежну змінну візьмемо у, а за нову залежну змінну —

Дістаємо рівність:

Остаточно приходимо до диференціального рівняння першого порядку

Якщо знайдемо загальний розв’язок цього рівняння, то для пошуку загального розв’язку дістанемо рівняння:

.

Якщо рівняння другого порядку має вигляд то приходимо до ДР першого порядку з відокремлюваними змінними:

Визначивши знаходимо у з диференціального рівняння першого порядку

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку

 Розв’язання.  Узявши дістанемо і прийдемо до рівняння першого порядку .

Знаходимо змінну і отримуємо рівняння першого порядку розв’язуючи яке, дістаємо:

ІІІ. ДР є однорідним відносно шуканої функції та її похідних,

Таке рівняння задовольняє умову

В однорідному рівнянні другого порядку узявши прийдемо до рівняння першого порядку виду

Якщо знайдено загальний розв’язок цього диференціального рівняння то далі маємо:

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння

 Розв’язання.  Використовуючи заміну та виконавши диференціювання , одержимо диференціальне рівняння першого порядку: звідси

З рівняння знаходимо загальний роз­в’язок вихідного рівняння:

Задачі на складання диференціальних рівнянь економічного змісту

Знайдемо закон зміни обсягу реалізованої продукції y=y(t), якщо відомо, що крива попиту задана рівнянням p(y)=2-y, відомий коефіцієнт пропорційності між швидкістю випуску продукції та інвестицією l=0,5, норма інвестиції m=0,5, y(0)=0,5 (умовних одиниць).

Розв'язання. Нехай y(t) - об'єм продукції, реалізованої до моменту часу t. За умовою задачі ціна на продукцію не є фіксованою, а визначається як спадна функція p(y)=2-y. Тому дохід до моменту часу буде дорівнювати добутку об'єму реалізованої продукції на функцію ціни:  Y(t)=p(y)y(t).

Позначимо через I(t) величину інвестицій, що направляються на розширення виробництва. Будемо вважати, що швидкість випуску продукції пропорційна величині інвестицій, тобто:

y'(t) = lI(t), (1)

де l - коефіцієнт пропорційності.

Оскільки величина інвестицій складає фіксовану частину доходу, то отримаємо:

I(t) = mY(t) = mp(y)y(t). (2)

Підставивши значення  I(t)  з виразу (2) до виразу (1), отримаємо:

y'(t)=lmp(y)y(t)

Підставивши дані за умовою задачі, отримаємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними:

y'= 0,50,5(2-y)y