Використання визначеного інтегралу в економіці

Обсяг виробництва продукції за проміжок часу може бути знайдений за формулою: ; де - продуктивність праці.

Приклад. Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено може бути виражена формулою: , де - робочий час у годинах. Обчислимо обсяг випуску продукції за квартал, вважаючи робочий день 8-годинним, а кількість робочих днів у кварталі – 62.

Розв’язання. Обсяг виробництва протягом зміни дорівнює: . Протягом кварталу обсяг випуску продукції становитиме:

Відповідь: 10185 од.

Питання для самоперевірки

• Запишіть формулу для знаходження об’єму тіла за площами його поперечних перерізів. Поясніть зміст складових формули.

• Запишіть формулу для знаходження пройденого шляху за відомою швидкістю руху. Поясніть зміст складових формули.

• Вкажіть формули для застосування визначеного інтегралу в економіці.

Завдання

1. Обчисліть об’єми тіл, утворених обертанням фігури, обмеженої лініями, навколо осей Ох та Оу:

   1. (при );

   2. .

2. Швидкість руху тіла задано рівнянням (м/с). Знайти шлях, пройдений тілом через 6 с після початку руху.

3. Чому дорівнює шлях, пройдений точкою, що рухається прямолінійно, за відрізок часу від до , якщо швидкість руху точки (м/с)?

4. Наведіть приклади задач економічного змісту, які зводяться до обчислення визначеного інтегралу.

Рекомендована література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. – К.:ЦУЛ, 2010. – С. 287-293; 294-295, 307-312.

2. Васильченко І.П. Вища математика для економістів: Підручник. – К.: Знання – Прес, 2002. – С. 309-316, 329-333.

3. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер и др. – М.: ЮНИТИ, 1999. – С. 304-307.

4. Математика для економістів: теорія та застосування./ Лавренчук В.П. та ін. - К.: Кондор, 2007. – С. 159-160.

5. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум: Навч. посібник. – К.:ЦУЛ, 2005. – С. 250-254; 274-275.

6. Богомолов М.В. Практичні заняття з математики, 1990. – С. 219-221; 439-447; 451-454.

7. Богомолов н.В., Сергиенко л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. – м.: Высш.Шк., 1987. – с. 107-109.

Тема 16 -18. Диференціальні рівняння

Питання для самостійної підготовки

1. Рівняння в повних диференціалах.

2. Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку.

3. Задачі на складання диференціальних рівнянь економічного змісту.

Поняття, терміни та формули, які необхідно знати

Рівняння в повних диференціалах, метод їх розв’язування.

Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку.

Задачі на складання рівнянь економічного змісту.

Диференціальні рівняння у повних диференціалах

Диференціальне рівняння виду або де

називається рівнянням у повних диференціалах.

Це диференціальне рівняння має інтеграл .

Диференціальне рівняння виду є рівнянням у повних диференціалах, якщо виконується тотожність

При цьому функцію знаходимо із рівнянь

В окремому випадку можна скористатись формулою:

Значення можуть бути довільними числами.

Л.Ейлер довів, що для будь-якого диференціального першого порядку _, для якого не виконується вказана вище умова, існує інтегрувальний множ­ник такий, що рівняння

є диференціальним рівнянням у повних диференціалах.

Знайти інтегрувальний множник  можна з умови виду:

Приклад. Розв’яжемо диференціальне рівняння:

.

Розв’язання. Переконаємось, що дане рівняння є рівнянням у повних диференціалах:

.

Умова виконується, і тому функцію знайдемо із рівнянь: ; .

При маємо: . Отже, маємо розв’язок диференціального рівняння:

Приклад. Знайдемо інтегрувальний множник для диференціального рівняння .

Розв’язання. Маємо:

Припустимо, що інтегрувальний множник  залежить тільки від х. Дістанемо рівняння:

Домножимо початкове диференціальне рівняння на х і дістанемо рівняння в повних диференціалах: , яке можна проінтегрувати: