Формула Ньютона—Лейбніца

Якщо функція — неперервна для то визначений інтеграл від функції на проміжку дорівнює приросту первісної функції на цьому проміжку, тобто

де

Позначимо дію подвійної підстановки так: тоді зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна подати такою рівністю:

Властивості визначеного інтеграла

І. Якщо , то

ІІ. Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла, тобто

ІІІ. Якщо та інтегровні на [a; b], то

IV. Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл змінить лише свій знак на протилежний, тобто

V. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю

VI. Якщо — інтегровна в будь-якому із проміжків: [a; b], [a; c], [с; b], то

VII. Якщо і інтегровна для то

VIII. Якщо , — інтегровні та для то

IX. Якщо f(x) — інтегровна та для то

Х. Теорема (про середнє).

Якщо функція — неперервна для то знайдеться така точка що

Геометричний зміст теореми про середнє полягає в тому, що існує прямокутник із сторонами та b – a, який рівновеликий криволінійній трапеції аАВв за умови, що функція та неперервна на проміжку [a; b] (рис. 4)

Рис. 4

Застосування визначеного інтегралу для обчислення об’ємів, шляху Обчислення об’єму тіла за площами його поперечних перерізів

Якщо площа S перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі Ох (рис. 1), є неперервною функцією на відрізку , то об’єм тіла обчислюється за формулою:

(1)

Рис.1.

Для доведення наведеної формули розіб’ємо відрізок на частини точками поділу x_k і проведемо площини х=х_k. Побудуємо циліндри з основами S(x_k) і висотами . Об’єм такого циліндра - . Звідси, шуканий об’єм тіла:

,

тобто за означенням визначеного інтегралу:

.

Обчислення об’єму та площі поверхні тіла обертання

Нехай криволінійна трапеція, обмежена кривою , відрізком осі Ох і прямими та , обертається навколо осі Ох (рис. 2). Тоді об’єм тіла обертання можна знайти за формулою:

, (2)

а площу поверхні обертання за формулою:

. (3)

Рис. 2.

Приклад. Обчислити об’єм та площу поверхні кулі радіуса R.

Розв’язання. Кулю можна розглядати, як результат обертання півкруга, обмеженого частиною кола навколо осі Ох (рис. 3).

Рис. 3.

Використовуючи рівність , симетричність кола відносно осі Оу та формулу (2), знайдемо об’єм кулі:

Аналогічно обчислимо площу поверхні кулі, підставивши у формулу (3) .

Одержимо:

Відповідь: .

Обчислення пройденого шляху

Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно зі швидкістю . Тоді її переміщення за проміжок часу обчислюється за формулою:

(4)

Приклад 1. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю (м/с). Знайти шлях, пройдений тілом від початку руху до його зупинки.

Розв’язання. У момент зупинки тіла його швидкість дорівнює нулю. Знайдемо момент часу, коли тіло зупиниться з рівняння . Рівняння має два корені: - початковий момент часу, - час, коли тіло зупиниться. За формулою (8) знайдемо пройдений шлях:

.

Відповідь: 36 м.

Приклад 2. Два тіла одночасно почали рухатися з однієї точки в одному напрямі по прямій зі швидкостями (м/с) та (м/с). На якій відстані одне від одного будуть тіла через 5 с після початку руху?

Розв’язання. Знайдемо переміщення кожного тіла:

Оскільки тіла рухаються прямолінійно з однієї точки і в одному напрямку, то відстань між ними можна знайти, як різницю переміщень, тобто .

Відповідь: 187,5 м.