Екстремум функції. Необхідна та достатня умови існування екстремуму функції. Поняття критичних точок та точок екстремуму функції

Точки, в яких функція визначена та неперервна, і в цих точках або не існує, називаються критичними для функції.

Точка х₀ називається точкою локального максимуму функції , якщо для будь-яких досить малих виконується нерівність:

.

Точка х₀ називається точкою локального мінімуму функції , якщо для будь-яких досить малих виконується нерівність:

.

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції , а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними значеннями (відповідно максимумами та мінімумами).

Необхідна та достатня умова екстремуму

Необхідну ознаку локального екстремуму задає наступна теорема.

Теорема 1. Якщо функція має в точці х₀ локальний екстремум, то або , або не існує.

Проте не в кожній критичній точці функція має екстремум. Тому потрібні достатні ознаки існування екстремуму для функції f. Їх задає така теорема.

Теорема 2. Нехай функція неперервна в деякому інтервалі, який містить критичну точку х₀, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки х₀).

Якщо для х<х₀ , а для х₀<x , то при х=х₀ функція має максимум.

Якщо для х<х₀ , а для х₀<x , то для х=х₀ функція має мінімум.

Таким чином, щоб дослідити функцію на екстремум, необхідно виконати такі кроки:

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти критичні точки, для цього знайти похідну функції і прирівняти її до нуля (а також вказати внутрішні точки області визначення, в яких похідна не існує).

3. Знайдені точки розбивають область визначення функції на інтервали, необхідно визначити знак похідної функції на кожному інтервалі (взяти довільну точку інтервалу і підставити її у вираз для знаходження похідної).

4. Скористатись достатніми ознаками максимуму і мінімуму функції: якщо при переході через критичну точку х₀ похідна змінює свій знак з + на -, то х₀ є точкою максимуму, а якщо з – на +, то х₀ є точкою мінімуму.

5. Знайти екстремуми функції та , якщо вони існують (підставити та у формулу, що задає функцію).

Розглянемо тепер дослідження функції на екстремум на конкретних прикладах.

Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію .

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на R. Знайдемо її похідну: .

Знайдемо нулі похідної: 12(х²+х-2)=0, х²+х-2=0, звідси за теоремою Вієта, х₁=-2, х₂=1.

Отже, функція f має дві критичні точки х₁=-2, х₂=1, які розбивають область визначення функції на 3 інтервали (рис. 1).

Рис. 1.

Оскільки похідна є квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х², то на інтервалах , а на інтервалі (-2;1) .

Похідна неперервна на R і при переході через критичну точку змінює знак на протилежний.

Оскільки при переході через критичну точку х=-2 похідна змінює знак з + на -, то в цій точці функція має локальний максимум:

.

При переході через точку х=1 похідна змінює знак з - на +. Тому в цій точці функція має локальний мінімум:

.

Відповідь: ; .

Приклад 2. Дослідити на екстремум функцію: .

Розв’язання. Функція визначена на інтервалах, де і , тобто при . Знайдемо її похідну:

.

Прирівняємо похідну до нуля. Враховуючи область визначення функції та умову рівності дробу нулю, критичні точки знайдемо з рівняння: , або , звідси або .

Точка не задовольняє умову теореми про достатню умову екстремуму, оскільки справа від неї функція не визначена.

Розглянемо критичну точку х=9 (рис. 2).

Рис. 2.

При переході через цю точку похідна змінює знак з мінуса на плюс. Отже, в точці х=9 функція має локальний мінімум:

.

Відповідь: .

Приклад 3. Дослідити на екстремум функцію .

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на R. Її похідна дорівнює нулю при .

Ця критична точка розбиває числову пряму на два інтервали (рис. 3):

Рис. 3.

Оскільки на інтервалі , то в точці функція має локальний максимум.

Його значення .

Відповідь: .