Правила диференціювання

Теорема (похідна суми та різниці диференційованих функцій): Якщо функції u=u(x) і v=n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то (u(x)±v(x))´= u´(x)±n´(x) для будь-якого х є (a; b).

Приклад

а)

б)

в)

Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули похідної алгебраїчної суми для скінченного числа складових.

Теорема (похідна добутку диференційованих функцій). Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то для будь-якого х є (a; b).

Приклад

а)

б)

в)

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

Доведення. Застосувавши теорему про похідну добутку, де , отримаємо

Приклад

а)

б)

Теорема (похідна частки диференційованих функцій). Якщо функції і мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), причому для будь-якого х є (a; b), то .

Приклад

а)

б)

Похідна складеної функції

Нехай у = f(u), де , тобто . Функція f (u) називається зовнішньою, а функція - внутрішньою, або проміжним аргументом.

Теорема. Якщо у=f(u) та – диференційовні функції своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює .

Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

Приклад 1. Знайдемо похідну функції .

Розв’язання. Нехай , одержимо .

Тоді _.

Приклад 2. Знайдемо похідну функції .

Розв’язання. Нехай , одержимо .

Похідні вищих порядків

Похідна від функції називається похідною першого порядку і являє собою деяку нову функцію. Мож­ливі випадки, коли ця функція сама має похідну. Тоді похідна від похідної першого порядку називається похідною другого порядку від функції і позначається .

Похідна від похідної другого порядку називається похід­ною третього порядку і позначається , .

Похідна від похідної (n–1)-го порядку називається похідною n-го порядку і позначається .

Таким чином,

Приклад 1. Нехай задано функцію . Знайдемо

Розв’язання. Маємо: ,

Приклад 2. Знайдемо похідну третього порядку для функції .

Розв’язання. Маємо:

Зростання, спадання функції достатня умова монотонності

Дослідження функції на зростання та спадання ґрунтується на теоремі математичного аналізу.

Теорема 1. Нехай функція неперервна на проміжку і диференційована в інтервалі . Для того, щоб функція була зростаючою (спадною) на проміжку , необхідно і достатньо виконання двох умов:

1. для всіх ;

2. рівність не повинна виконуватися в жодному інтервалі, що міститься в .

Як наслідок цієї теореми, можна використовувати таку теорему (достатня ознака строгої монотонності):

Теорема 2. Нехай функція неперервна на проміжку і диференційована в інтервалі . Якщо для всіх виконується умова ( ), то функція зростає (спадає) на проміжку .

Таким чином, щоб дослідити функцію на зростання і спадання, необхідно виконати такі кроки:

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти критичні точки, для цього знайти похідну функції і прирівняти її до нуля (а також вказати внутрішні точки області визначення, в яких похідна не існує).

3. Знайдені точки розбивають область визначення функції на інтервали, необхідно визначити знак похідної функції на кожному інтервалі (взяти довільну точку інтервалу і підставити її у вираз для знаходження похідної).

4. Скористатись достатніми ознаками зростання і спадання функції: якщо похідна додатна на деякому інтервалі, то функція зростає на цьому інтервалі, якщо ж похідні від’ємна на деякому інтервалі, то функція спадає на цьому інтервалі.

5. Якщо функція неперервна в кінцевих точках проміжку, їх можна приєднати до проміжків зростання чи спадання.

Розглянемо тепер дослідження функції на зростання чи спадання на конкретних прикладах.

Приклад. Знайти проміжки зростання та спадання функції .

Розв’язання. Функція визначена і диференційована на множині R. Знайдемо її похідну .

Нулями похідної є критичні точки х₁=1, х₂= , які розбивають область визначення функції на три інтервали (рис. 1).

Рис. 1.

Оскільки похідна задана квадратним тричленом з додатним коефіцієнтом при х², то вона набуває додатних значень поза коренями, тобто на інтервалах , і від’ємних між коренями, тобто на інтервалі .

Отже, на інтервалах функція зростає, а на інтервалі – спадає. Запишемо проміжки зростання та спадання функції з урахуванням неперервності функції на кінцях проміжку: функція зростає при , функція спадає при .