Тема 6 - 8. Диференціальне числення функції однієї змінної: похідна та її застосування

Питання для самостійної підготовки

Поняття похідної, її фізичний та геометричний зміст.

Таблиця похідних елементарних функцій.

Правила диференціювання.

Диференційованість елементарних функцій.

Похідна складеної функції.

Похідні вищих порядків.

Зростання, спадання функції. Достатня умова монотонності.

Екстремум функції.

Необхідна та достатня умови існування екстремуму функції.

Найбільше, найменше значення функції на відрізку.

Застосування похідної в економічній теорії.

Поняття, терміни та формули, які необхідно знати

Задачі, що приводять до поняття похідної.

Означення похідної, її геометричний і фізичний зміст.

Дотична до кривої.

Правила диференціювання.

Похідні основних елементарних функцій.

Приклади застосувань похідної до розв’язування задач з економіки, геометрії, фізики, механіки та інших дисциплін.

Поняття критичних точок.

Ознаки зростання, спадання функцій.

Знаходження найбільшого і найменшого значення функції.

Розв’язування прикладних задач на максимум і мінімум.

Поняття похідної функції в точці, її фізичний та геометричний зміст

Основне поняття диференціального числення – поняття похідної – виникло в XVII ст. у зв'язку з необхідністю розв’язання ряду задач з фізики, механіки і математики, у першу чергу таких:

визначення швидкості прямолінійного нерівномірного руху
побудова дотичної до плоскої кривої.

Можна навести й інші приклади, що показують, яку велику роль відіграє поняття похідної в науці і техніці:

прискорення – похідна від швидкості за часом,
теплоємність тіла – похідна від кількості тепла за температурою,
швидкість радіоактивного розпаду – похідна від маси радіоактивної речовини за часом і т.п.

Вивчення властивостей і способів обчислення похідних і їхнє застосування до дослідження функцій складає головний предмет диференціального числення.

Перша друкована праця з диференціального числення була опублікована Лейбніцем у 1684 р. Збільшення абсциси Лейбніц позначав через dx, що відповідає збільшенню ординати – через dy. Нині уживаний символ похідної бере свій початок від Лейбніца. При цьому зазначимо, що у Лейбніца основним поняттям була не похідна, для якої він навіть спеціального терміна не мав, а диференціал.

У середині XVIII ст. Ейлер став користуватися грецькою літерою ∆ для позначення приростів змінних величин, тобто ∆y = y₂ – y₁, ∆х = x₂ – x₁ і т.д. Це позначення збереглося понині. Ми пишемо: . Позначення і для похідної ввів Лагранж.

Сам термін «похідна» уперше зустрічається у книзі «Обчислення похідних» француза Луа Арбогаста, опублікованої в Парижі в 1800 р. Цим терміном відразу ж став користуватися і Лагранж. Термін цей швидко увійшов у загальний ужиток, а Коші, використовуючи початкову літеру цього терміна, став позначати похідну символом Dy або Df(x).

Похідною функції в точці х₀ називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля, якщо ця границя існує:

;