8.6.2 Оптимізація розімкнених смо із застосуванням еом

Задачу оптимізації розімкнених СМО розглянемо на конкретних прикладах, що не виключає можливості застосування аналогічного підходу до аналізу будь-яких замкнених СМО.

В якості прикладу розглянемо довідково - інформаційний центр (ДЩ), що містить одну ЕОМ, призначену для обслуговування необхідною інформацією багатьох клієнтів. Середній час обслуговування однієї заявки t_oac - 1,25 хв., тобто інтенсивність обслуговувань //=1/1,25=0,8 обс/хв. Середня інтенсивність звернень клієнтів за довідками А=1 зв./хв. ДІЦ має буферний пристрій для створення черги очікування заявок на обслуговування у випадку зайнятості ЕОМ обслуговуванням певного клієнта. Максимальна ємність буферного пристрою т=3 заявки, тобто при появі у черзі четвертої заявки, вона буде відкинута необслуженою й клієнт мусить через певний час повторити виклик ДІЦ повторно.

Аналіз функціонування ДІЦ дозволяє віднести його до класу одноканальних СМО з обмеженою чергою очікування.

Приймемо для прикладу середні витрати ДІЦ на обслуговування однієї заявки с = 15 умовних вартісних одиниць (у.в.о.), середню плату за обслуговування заявки D = 50 у.в.о.

Поставимо задачу визначення оптимального часу обслуговування однієї заявки, що забезпечує максимальний прибуток ДЩ.

Ймовірність обслуговування (Р„) для одноканальної СМО визначиться, як було показано вище, наступною формулою:

Тоді сума коштів, отриманих ДІЦ від клієнтів за обслуговування заявок за одиницю часу складатиме DA-P,,, а витрати ДІЦ на обслуговування заявок с-ц. З урахуванням зазначеного, прибуток ДЩ за одиницю часу дорівнює

Поставимо задачу максимізації вказаної цільової функції при умові

Нижче наводиться програма оптимізації режиму обслуговування СМО в середовищі "Mathcad - 2000".

Введення вхідних даних:

m := 3 - обмеження довжини черги очікування;

X. := 1 - середня інтенсивність потоку заявок на обслуговування; ц := 1.2S середня інтенсивність потоку обслуговувань заявок в СМО;

р := — - коефіцієнт завантаження СМО; р = 0.8 И

с := 15 - середні витрати СМО на обслуговування однієї заявки;

D := 50 - середній прибуток, отриманий СМО за обслуговування однієї заявки

Рішення задачі у середовищі "Mathcad - 2000":

Використаємо функцію прибутку СМО за одиницю часу

Таким чином, для отримання максимального прибутку оптимальне значення інтенсивності обслуговування заявок в СМО ( ці) має бути рівним:

ці := — ці = 1.14 обслуговувань/хв. Максимальне значення прибутку при цьому складатиме: F(pl) = 25.336 у.в.о.

Довільно змінюючияючи значення коефіцієнту завантаження р у межах від 0,5 до 1,4, будуємо графік залежності F(p), на якому показано характер зміни величини прибутку і визначено р_опт

Для порівняння покажемо вплив втрат, пов'язаних з очікуванням заявок у черзі, що не було враховане в попередній задачі (див. наступну задачу).

Задача 2.

В умови попередньої задачі введемо додатково втрати, що пов'язані з часом знаходження заявок у черзі очікування. В цьому випадку задача формулюється наступним чином:

т:=3 X := 1 \х := 1.25 р := - р = 0.8

с:= 15 D:= 50

Q := 10 - втрати за час перебування в черзі очікування однієї заявк

(у грошовому вираженні) Рішення:

Використаючи функцію прибутку СМО за одиницю часу (з ураху­ванням втрат у черзі очікування):

При початковому наближенні значення коефіцієнту навантаження р := 0.8 маємо значення прибутку F(p) = 17.899

Визначаємо оптимальне значення коефіцієнту навантаження, при якому прибуток СМО буде максимальним ( рі):

Таким чином, для отримання максимального прибутку оптимальне значення інтенсивності обслуговування заявок в СМО ( ці ) має бути рівним:

ці := — ці = 0.97 обслуговувань./хв., тобто дещо знижується РІ порівняно з попередньою задачею.

Максимальне значення прибутку при цьому складатиме:

F(pl) = 19.015 у.в.о., тобто прибуток від обслуговування дещо зменшується за рахунок втрат у черзі очікування. Будуємо графік залежності F(p):

Аналогічно вирішуються задачі оптимізації структури багатоканальних СМО.

Нехай є СМО з п каналами обслуговування і обмеженою чергою очікування т. Функціонування СМО пов'язане з двома видами втрат: С -втрати, пов'язані з одиницею часу простою каналу; D - втрати, пов'язані з одиницею часу очікування_ заявки в черзі. Якщо k - середня кількість каналів, що простоюють, г - середня кількість заявок у черзі, то функція витрат має вигляд:

F(n) = Ck - Dr = C £(n - k) ■ P_k + D "£(k - n)P_k

k=0 k=n+l

Поставимо задачу оптимізації структури СМО, яка може бути сформульована як задача визначення оптимальної кількості каналів обслуговування (п_опт), що забезпечать F(n_onT) = F_min.

Розв'язувати цю задачу доцільно як і раніше, за допомогою системи "MATHCAD-2000" (див. програму, що наведено нижче). Оскільки функціонал F(n) використовує значення ймовірностей Р_к, в зазначену програму додатково введена програма розрахунків Р_к. Особливістю даної програми є також застосування при розрахунках Р_к методу рекурсії, який полягає у тому, що значення P_k (k=1,n) обчислюється через її попереднє значення Р_к.і, тобто P_k = Pk-rqw, де q_k є імовірність переходу з Sk-i у S_k. Значення Р_о спочатку приймається рівним

1. Обчислюючи Р_к при Ро=1, одночасно знаходимо суму S=

1с=0

допомогою якої одержуємо Р_о = 1 / S.

Перераховуючи Р_к (к=1,п) при знайденому Р_о, одержуємо шукані

значення станів Р_к.

smo(m,	n,p)	Оптимізація S 1	структури	розімкнених СМО
		po >
		for k є 1.. m
		Pk Pk Г	;p;(m і	k)	if k n
		і