8.6. Пуассонівські смо розімкнутого типу

В цьому розділі розглядаються лише методи аналізу СМО, що мають стаціонарні пуассонівські вхідний і вихідний потоки вимог і обслуговувань. Такі СМО в літературі називаються іноді пуассонівськими (найпростішими) СМО (по типу потоків, що розглядаються). Оскільки нхідний і вихідний потоки є пуассонівськими, тобто без післядії, для аналізу найпростіших СМО найбільш придатними є методи аналізу марковських ланцюгів, розглянутих у попередньому розділі. Найпростіші СМО у своїй більшості відповідають процесу "загибелі і розмноження", який є найбільш поширеною моделлю подібних СМО.

Нагадаємо, що СМО є розімкнутою (відкритою), якщо в ній кількість джерел, що формують вхідний потік вимог на обслуговування не і обмеженою і не залежить від стану СМО. Навпаки, в замкнених СМО кількість джерел обмежена і зміни в стані СМО суттєво впливають на інтенсивність вхідного потоку. В цьому розділі розглядатимуться тільки розімкнуті СМО.

8.6.1. Загальний підхід до аналізу СМО

Нехай СМО розімкнутого типу містить п однотипних каналів обслуговування, кожен з яких характеризується експоненціальним розподілом значень часу обслуговування з середнім значенням t_o6c, що еквівалентно інтенсивності потоку обслуговувань µ=1 /t_o6c, /незалежно від типу замовлення, що обслуговується.

При повністю завантажених каналах вимоги на обслуговування можуть чекати у загальній черзі з числом місць чекання m. Дисципліна обслуговування є безпріоритетною (FIFO - First Input First Output). Заявки на вході СМО відносяться до одного з М типів, причому заявки j-того типу ( і = 1,М) створюють найпростіший потік з інтенсивністю λ_і. Очевидно, що в цьому випадку при умові безпріоритетності обслуговування заявок загальний вхідний потік дорівнює λ=λ_і

Будемо вважати деякі заявки "нетерплячими", тобто такими, що перебувають в СМО не більше t_доп одиниць часу. Якщо час перебування перевищує t_Д0П, то заявка залишає СМО необслуженою і вважається втраченою, створюючи цим самим потік втрат СМО. Будемо вважати, що t_доп є також випадковою величиною з експоненціальною щільністю розподілу часу перебування f(t_доп) і значенням математичного очікування середнього¯t_дon . Таким чином, можна говорити, що потік втрат СМО є найпростішим із інтенсивністю ν=1/ ¯t_дon. При цьому можливі втрати як з черги чекання (коли t_{чек } t_дon), так і з каналу обслуговування (коли t_{обс } t_дon). Методично зручніше розрізняти два потоки втрат:

• до моменту початку обслуговування з інтенсивністю ν_чек

• після початку обслуговування з інтенсивністю ν_обс

Враховуючи, що момент призначення заявки на обслуговування випадково призначається на інтервалі між сусідніми моментами покидання черги заявками, то відрізок часу як між моментами надходження заявок у чергу і її можливого покидання черги, так і між початком обслуговування і моментом можливого відходу заявки в процесі обслуговування, будуть мати однаковий експоненціальний розподіл з математичним очікуванням ¯t_доn . Причиною цього явища є властивість відсутності післядії, якою володіють саме найпростіші потоки. Тому вважатимемо, що

ν_чек= ν_обс =ν=1/ ¯t_дon.

Така СМО є досить загальною структурою, з якою можна, прирівнюючи деякі параметри або до нуля, або до одиниці, або до нескінченості, отримати часткові типи СМО, тому отримаємо спочатку загальні формули аналізу СМО, з наступним їх спрощенням для окремих часткових випадків.

Граф станів розглянутої СМО із застосуванням марковського процесу "загибелі та розмноження" представлений на рис.8.7.

В цьому графі: So — в СМО немає заявок на обслуговування (СМО вільна); Si — в СМО є тільки одна заявка, що обслуговується, черги немає; S_n — усі п каналів обслуговування СМО зайняті, але черги немає; S_n+, — п каналів обслуговування СМО зайняті, одна заявка в черзі чекання; S_n+_m — п каналів обслуговування зайняті, m заявок в черзі чекання. В цьому випадку чергова заявка, що надходить в СМО, отримає відмову в обслуговуванні і залишить СМО.

Рис.8.7. Узагальнений граф станів найпростішої СМО розімкненого типу.

Інтенсивність потоку завантаження ("розмноження"), що переводить СМО зі стану Sі до стану S_і+₁ (верхні стрілки переходів на рис.8.7) дорівнює інтенсивності вхідного потоку λ, тому що збільшення заявок в системі можливе саме за рахунок вхідного потоку.

Інтенсивність же потоку розвантаження (нижні стрілки переходів на рис.8.7) міняються в залежності від стану СМО. Якщо обслуговуванням заявок зайнятий будь-який один канал (стан S₁), то інтенсивність потоку розвантаження обслужених заявок µ= 1 / ¯t_o6c плюс інтенсивність втрат в процесі обслуговування v_oбc, при стані S₂ ця сумарна інтенсивність подвоюється і т.д. до стану S_п. Після цього стану інтенсивність обслуговування і втрат у процесі обслуговування залишається незмінною, але додається складова, що пов'язана з наявністю втрат "нетерплячих" клієнтів у процесі чекання (v_чек), яка пропорційно збільшується по мірі зростання черги очікування до m заявок.

Як слідує з рис.8.7, кількість можливих станів СМО дорівнює (m+n+1) і є обчислюваною величиною. Переходи з будь-якого стану в будь-який інший є можливими, тому в розглянутій СОМ граничний (сталий) режим існує. Використовуючи правило складання системи рівнянь Колмогорова для процесу "загибелі та розмноження", що зображено на рис. 8.7, отримаємо з урахуванням нормовочного рівняння:

(8.17)

Якщо ввести у розгляд ρ = λ/µ — приведену інтенсивність вхідного потоку, яка дорівнює середній кількості вхідних заявок за час обслуговування однієї заявки, а також a_O6c=v_O6cV — приведену інтенсивність втрат одного каналу обслуговування і a_4eK=v_4CK/(x — те ж саме для потоку втрат з черги очікування, то отримаємо

(8.20) (8.21)

При цьому імовірність вільного стану СМО (Р_о), що входить в (8.20) і (8.21), визначається за допомогою (8.17) як

Визначимо деякі показники ефективності роботи СМО.

1. Імовірність відмов в обслуговуванні (Р_відм) визначається як імовірність стану СМО коли усі канали обслуговування зайняті і немає вільних місць очікування, тобто при S_n+m

2. Середня кількість каналів (К), зайнятих обслуговуванням. Ця величина визначається в загальному вигляді як математичне очікування дискретної випадкової величини К:

К = О-Р_о + ІіР₁+п|;іР_і1+і=ХіР₁+/і-Ір_і] (8.24)

і=1 і=1 і=0 V і=0 J

3. Середня кількість заявок у черзі очікування (середня довжина черги) визначається аналогічно:

n jn m

r = 0-XPi+nIrP_n+r=£rP_{n+r (g25)}

і=0 г=1 г=1

2. Середня кількість заявок, що пов'язана з обслуговуванням в СМО

5. Середній час очікування заявки у черзі (ї_чек) і перебування заявки в СМО(ї_сист):

їчек=?М; Ї_сист=гД- (8.27)

6. Імовірність втрат в СМО (Р_ВТр) визначається як

(8.28)

Р= р + р + Р • втр * відм ^х п чек ^х п оос 5

де Р_Пчек. Рцобс.— відповідно імовірності залишання "нетерплячими" заявками черги та залишання ними системи в процесі обслуговування.

Значення Р„_Обс визначимо як відношення сумарної інтенсивності залишань заявками системи за час обслуговування, яка дорівнює К -у_о6с, до інтенсивності вхідного потоку, тобто

Рпобс=~^&- (8-29)

Аналогічно

Р_Пчек=~^ (8-30)

7. Після визначення імовірності втрат (Р_втр) можна визначити імовірність появи будь-якої заявки, що надійшла до СМО для обслуговування, в вихідному потоці обслужених заявок (імовірність її обслуговування Р_ов_с)

Ров.-1-Рир (8.31)

Ця величина чисельно співпадає з відносною пропускною здатністю СМО, яка також характеризує долю вихідних заявок, що буде обслужена, тобто q = Р_Обс ■

8. Тоді інтенсивність потоку обслужених заявок (вона ж є і абсолютною пропускною здатністю СМО (А)

д = v_ =p,.^ = wi_p'\ (g 32)

2. Як приклад аналізу СМО із застосуванням вищезазначених формул розглянемо двохпроцесорну обчислювальну систему (ОС), на вхід якої надходять заявки на виконання певних розрахунків за допомогою деяких прикладних програм [13]. Кількість джерел вимог на здійснення розрахунків дорівнює 3, інтенсивність вимог, що надходять від кожного джерела: Л-і = 6 с"¹; ^.₂=15с"'; Л,₃ = 9 с"¹. Процесори ОС приймаються однотипними, що мають швидкодію В =50-10³ опер/с. Обслуговування кожної заявки (тобто проведення відповідних розрахунків) у середньому потребує виконання 0=2,5-10 операцій, при цьому конкретна кількість операцій, необхідна для виконання кожної заявки, міняється випадковим чином з експоненціальним законом розподілу кількості операцій

Для збереження заявок, що не можуть бути прийнятими до виконання миттєво, виділена буферна зона пам'яті, куди розміщується інформація про чотири заявки. Час перебування заявки в ОС не має перевищувати випадкової величини t_uou, що має математичне очікування ї_доп=0,1 с і експоненціальний розподіл часу перебування в буфері. Режим обробки інформації — безпріоритетний. Необхідно визначити імовірності усіх станів ОС в граничному (сталому) режимі, а також основні показники її ефективного функціонування.

Перш за все сформулюємо задачу в термінах СМО. Розглядається багатоканальна розімкнута СМО (п=2) з відмовами і обмеженням черги очікування (т=4), з "нетерплячими" заявками з інтенсивністю залишань системи v = v_4eK⁼ v_o6c= 1 /0,1 =10 с'¹. Вхідний потік заявок Х = Х\ + Х₂+ Хз = 30 с"¹. Потік обслуговування одним процесором (одним каналом) ОС ц = В"/© = 50 • 10³/(2,5 ■ 10³ )= 20 с"¹.

Визначаємо імовірність вільного стану СМО: Ро=[1+1+0,5+0,5(0,4286+0,1607+0,0536+0,0161)]"¹ => Р₀=0,3534.

Таким чином, в сталому режимі 35,34% часу роботи ОС буде вільною.

Граничні імовірності інших станів розрахуємо відповідно до (8.20) і (8.21):

Рі=0,3534; Р₂=0,1767; — черга відсутня;

Р₃=0,0757; Р₄=0,0284; Р₅=0,0085; Р₅=0,0029 — стани СМО при наявності в буфері черги заявок довжиною 1, 2, 3, 4 заявки відповідно .

Середня кількість зайнятих каналів (процесорів)

К = 1 • Р, + 2 • Р₂ + 2 ■ (і - Р_о - ^ - P₂J = 0,9398

Відносне завантаження одного процесора і середня довжина черги дорівнюють відповідно:

Для зручності проведення розрахунків режимів функціонування розімкнених СМО різних типів, їх графи станів та основні розрахункові формули, отримані на підставі рівнянь Колмогорова, і яки характеризують ефективність функціонування СМО, зведені в таблиці 8.1..8.6

Таблиця 8.1

Розрахункові формули для одноканальних розімкнених СМО з відмовами

Граф станів			1
		So		S,
			м
Характеристики СМО	Розрахункові формули
Імовірність обслуговування	Р Ц
(імовірність стану So)	Х + ц
Імовірність відмови в обслуговуванні (імовірність стану Si)	Рвідм == 1 ~ Р		X
			' Х + ц
Відносна пропускна спроможність (коефіцієнт завантаження СМО)	q^-Рвідм		v V
			~Г° Х + Іх
Абсолютна пропускна спроможність (інтенсивність потоку обслуговування)	А = Ч-Я.= —£-Я. + Ц
Середній час обслуговування
Середній час перебування заявки в СМО	*сист = ^обс = /д

Таблиця 8.2

Розрахункові формули для багатоканальної СМО з відмовами (її - кількість каналів)

Таблиця 8.3

Розрахункові формули для одноканальної СМО з обмеженою чергою очікування (in - кількість місць чекання)