6.8 Особливості оптимізаційних систем цілочисельного програмування
Досі ми розглядали питання аналізу систем із застосуванням лінійного програмування, де не існувало ніяких обмежень щодо цілочисельності результатів рішення. Однак існує велика кількість задач. ЛП, де значення можливих рішень (і значення цільової функції також) можуть приймати тільки деякі дискретні значення, частіше цілочисельні.
Як правило, це задачі, пов'язані з визначенням оптимальної кількості неділимого обладнання (кількості автомобілів або суден, що здійснюють перевезення, кількості ЕОМ в деякому управляючому комплексі і т.д.).
В загальному плані подібні задачі відносяться також до задач ЛП, однак з додатковими обмеженнями у вигляді кількості або характеру можливих значень рішення, що оптимізується. Існування цих обмежень вимагає, як буде показано далі, дещо змінити як постановку задачі, так і її рішення.
Розглянемо, наприклад, наступну задачу: Максимізувати цільову функцію
(6.61)
при обмеженнях
(6.62)
де ; ;
при додатковому обмеженні
(6.63)
де D - деяка лічена множина з кінцевою кількістю елементів.
Ця додаткова умова (6.63) дозволяє класифікувати цю задачу як задачу дискретного програмування. При наявності додаткової вимоги х
(j
n)
-
цілі натуральні числа, така задача
оптимізації систем повинна бути
класифікована як задача цілочисельного
програмування (ЦП).
Слід зауважити, що пошук оптимального рішення задач ЦП за допомогою методів ЛП з послідуючим його округленням до найближчого цілого значення не завжди дає задовільний результат рішення.
Наприклад, задача [6]: Знайти
(6.64)
при
(6.65)
де
– цілі
числа;
при ігноруванні вимог цілочисельностіматиме оптимальне рішення
Після звичайного округлення матимемо:
X0
=
Якщо застосувати методи рішення, що властиві задачам ЦП і котрі розглядатимуться далі, матимемо наступне оптимальне рішення:
X0
=
Як бачимо, результат рішення задачі як задачі ЦП значно відрізняється від результату, отриманого методами ЛП з послідуючим округленням результату.
Узагальнюючи цей висновок для будь-якої задачі оптимізації, зауважимо, що при досить великих значеннях елементів оптимального рішення задачі традиційними методами ЛП доцільно робити округлення отриманих значень Xj (j = l,n) але при отриманні значень, що не дуже
відрізняються від нуля, робити це недоцільно. В цих випадках доцільно застосовувати методи ЦП.
Додамо ще одну дуже важливу теорему про цілочисельність рішення Т-задачи, отриману Данцігом [6]:
- при будь-яких цілочисельних значеннях даних Т-задачи (тобто ai
(i = l,m) і bj (j = l,n)) завжди існує цілочисельне опорне рішення, при
його модифікації умови цілочисельності не порушуються і, як слідство, отриманий оптимальний план буде також цілочисельним, що ми і мали при розгляданні рішень Т-задач в другій главі.
Звичайно, ця умова не поширюється на коефіцієнти цільової функції і: (j = 1,n), що можуть мати будь-яке значення. Але при цьому неможливо вимагати обов'язкового цілочисельного значення цільової функції Lo.
Зауважимо, що цілочисельною є також Т-задача про призначення, яку ми розглядали в другій главі. Але застосовані при цьому методи не є універсальними, а лише частковими. Нижче ми розглянемо більш універсальні методи рішення задач ЦП.