6.5Аналіз транспортних перевезень на основі прямої та двоїстої задач лп

Р озглянемо особливості та доцільність застосування прямої та двоїстої задач ЛП при аналізі транспортних перевезень. В деякій системі, що об'єднує функції виробництва, перевезення та реалізацію товарів, необхідно перевезти і продати у торговій мережі визначені обсяги трьох видів продукції Xj (j = l,3) за допомогою допоміжного АТП, що має три типи транспортних засобів (ТЗ) у кількості b_i (і = 1,3). Кожен T3i здатний перевезти максимальний обсяг кожного виду продукції у розмірі G_ij (де і = 1,3 - тип ТЗ; j = 1,3 - вид товару, що має бути перевезеним). Реалізацію одиниці кожного виду товарів планується здійснити за ціною Cj (j = 1,3). Необхідно визначити оптимальні обсяги перевезень х_ij (j = l,3), що забезпечуватимуть у діючих умовах ринку максимальний прибуток від їх реалізації, тобто

L=c₁x₁+ c₂x₂+ c₃x₃→max (6.49)

За умови, що

(6.50)

де X^T={x₁;x₂; x₃};B^T={b₁; b₂; b₃},

а_ij=1/G_ij (i = l,3;j = l,3) - кількість Т3_i, спроможних перевезти одиницю товару.

Конкретизуємо пряму задачу на числовому прикладі. Нехай В^T ={20;36;48}; С = {12;7;9}; Тоді можна записати наступну матрицю:

тобто пряма має вигляд:

L=12 x₁+7 x₂+9 x₃→max (6.51)

При обмеженнях

2 x₁+3 x₂+3 x₃≤20

x₁+ x₂+5 x₃≤36

x₁+2 x₂+ x₃≤48 (6.52)

x_ij≥0(j =1,3)

Побудуємо двоїсту задачу згідно викладених раніше правил:

L’=20y₁+36 y₂+48 y₃→min (6.53)

При обмеженнях:

2 y₁+ y₂+ y₃≥12

3 y₁+ y₂+2 y₃≥7

3 y₁+5 y₂+ y₃≥9

y_ij≥0( I =1,)

де у (і=1,3) – “тіньові” ціни перевезень одиниці товарів, що перевозяться.

Спочатку розв'язуємо пряму задачу (6.51) і (6.52), потім двоїсту 6.53) і (6.54) з застосуванням симплекс-методу. Зокрема, остання симплекс-таблиця прямої задачі має вигляд таблиці 6.6.

В цій таблиці вказані додаткові змінні (х₄;х₅;х₆), що перетворюють обмеження - нерівності (6.52) в обмеження - рівняння (в таблиці не вказані додаткові змінні, що вводяться штучно самою ЕОМ для розв'язання задачі). Аналогічна таблиця була отримана також для двоїстої задачі. Оптимальні рішення кожної з задач мають вигляд:

- для прямої задачі

х₁ =10; х₂ =0; х₃ =0; х₄ =0; х₅ =26; х₆ =38; L₀ = 120 варт.од.

- для двоїстої задачі (з використанням відповідної симплекс- таблиці):

у₁ = 6; у₂ = 0; у₃ = 0; у₄ = 0; у₅ = 11; у₆ =9; = 120варт.од.

або з використанням (6.47) і таблиці 6.6.: у₁= =6; у₂= =0; у₃= =О; у₄= =0 (згідно з правилом циклічного переходу) у₅= = 11; у₆= =9.

Таблиця 6.6. Симплекс-таблиця оптимального прлану прямої задачі

Як слідує з наведених даних, оптимальним для розглянутої проблеми перевезень є доцільність перевезень лише товарів першого виду х, в обсязі 10 одиниць вантажу, що забезпечує при його продажу максимальний прибуток L=120 вартісних одиниць. При цьому транспортні засоби використовуються згідно з (6.52) наступним чином:

2*10+3*0+3*0+x₄=20  x₄=0

10+1*0+5*0+ x₅=36 x₅=26

10+2*0+1*0+ x₆=48 x₆=38

тобто ТЗ₁ використовуються повністю, Т3₂ не використовуються в кількості 26 одиниць, Т3₃ не використовуються в кількості 38 одиниць. Загальна кількість використаних ТЗ для перевезення складає 20 + 10 + 10 = 40 од.

Використовуючи дані двоїстої задачі запишемо (6.54) для отриманого оптимального рішення:

2*6 + 0 + 0 – у₄ =12, тобто х₄ =0,

3*6 + 0 + 0 – у₅ =7, тобто х₅ = 11,

10 + 2 * 0 +1* 0 + х₆ = 48, тобто х₆ = 9.

Основні змінні двоїстої задачі у₁ =6; у₂=0; у₃=0 оптимального плану характеризують міру дефіцитності того чи іншого ТЗ. Так ТЗ₁ є дефіцитним (у₁ = 6>0), його збільшення хоча б на одну транспортну одиницю дозволить отримати згідно (6.51) з урахуванням (6.52) додаткового прибутку у розмірі 12 вартісних одиниць. Т3₂ і Т3₃ не є дефіцитними з точки зору їх використання. Економічне значення у₄; у₅;у₆ полягає в характеристиці збитків на перевезення товарів за допомогою менш ефективних транспортних засобів.

На даному прикладі перевіримо також три основні співвідношення прямої та двоїстої задач ЛП, викладені в попередньому параграфі.

1. Рівняння цільових функцій прямої та двоїстої задач при оптимальних рішеннях:

L_o = = 120 варт.од. при Х_о = {10,0,0} і Y_o = {6,0,0}

2.Строгим нерівностям в обмеженнях двоїстої задачі при оптимальних значеннях Y_o відповідають прирівняні до нуля відповідні значення Х_о. Такими строгими нерівностями будуть друга та третя формули системи (1.54) при у₁=6; у₂=0; у₃=0. Перша формула цієї системи перетворюється в строге рівняння. Тому х₁  0; х₂ = 0; х₃ = 0.

3. Дійсно, існує рівність між вільними оптимальними значеннями індексів прямої та оптимальними рішеннями двоїстої задач (див. Таблицю 6.6):

Зауважимо, що якщо "і" в значеннях у₁ перевищує (n + m), індекс у_i знову поступово зростає починаючи з і = 1, що нами і зроблено в розглянутому прикладі. Фізичне наповнення цих змінних нами було розглянуто раніше.

Таким чином, сумісне використання результатів розв'язання прямої та двоїстої задач ЛП дозволяє отримати за рахунок їх порівняння багато корисної інформації щодо удосконалення структури рухомого складу та організації перевезень.