6.4 Двоїста задача лп

Раніше ми вказували на можливість заміни задачі ЛП з пошуком максимуму цільової функції на задачу ЛИ з пошуком мінімуму шляхом простої заміни виразу для цільової функції (наприклад L' = -L). Однак, існує великий клас задач ЛП, який корисно розв'язувати за допомогою так званої двоїстої (або спряженої) задачі ЛП. Найбільш продуктивне застосування двоїстої задачі ЛП при розв'язанні різноманітних задач в економіці транспорту, що пов'язані з використанням ресурсів, коштів, робочої сили, часу роботи транспорту тощо. Розглянемо дві можливі постановки цієї задачі.

1. Для виготовлення двох видів продукції Р, і Р, застосовують чотири види ресурсів S,, S₂, S,, S₄. Запаси ресурсів b,, b₂, b,, b₄; кількість ресурсів, що витрачаються на виготовлення одиниці продукції (a,j) де і = 1,4; і = 1,2 (тобто а₃₁ (наприклад) є кількість ресурсу S,, необхідного для виготовлення одиниці продукції Р,). При цьому прибуток від реалізації одиниці продукції ?_і складає Cj (тобто С, і С₂). Необхідно скласти такий план виробництва товарів Р, і Р₂, у кількостях х, і х, і, що забезпечує максимум прибутку від їх реалізації на ринку.

Складемо математичну задачу ЛП для розглянутого прикладу, прийнявшії за планові показники кількість одиниць кожної продукції, що доцільно виготовити (х, і х₂). Тоді цільова функція (прибуток від реалізації виготовленої продукції) прийме вигляд:

L=C₁X₁+C₂X₂max

Але маємо також обмеження на величини х₁ і х₂ у вигляді загальної кількості ресурсів кожного типу (b₁, b₂, b₃, b₄). З урахуванням норм витрат ресурсів (а,) на виготовлення кожного виду продукції маємо систему обмежень:

a ₁₁x₁+a₁₂x₂≤ b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂≤ b₂

a₃₁x₁+a₃₂x₂≤ b₃

Ця задача є класичною задачею ЛП, що легко може бути узагальнена на випадок m обмежень (в даному випадку т=4) та п видів товарів (в даному випадку п=2).

2. Припустимо зараз, що деяке інше підприємство вирішило перекупити усю наявність ресурсів (b₁, b₂, ..., b_m) для вирішення своїх проблем виробництва. Очевидно, що організація - власник ресурсів має визначити ціни на ці ресурси (у,, у₂, ..., у_п]). При цьому організація -покупець зацікавлена в мінімізації витрат на покупку, тобто:

L’ = b₁y₁ + b₂y₂ + ... + b_my_m  min, (6.39)

а організація - продавець зацікавлена у тому, щоб отримана від продажу сума була хоча б не меншою за ту суму, що вона могла б отримати при виготовленні власної продукції з цих ресурсів.

З урахуванням норм витрат (а_ij) кожного з ресурсів S_i на одиницю

продукції P_j загальна вартість всіх ресурсів, необхідних для виготовлення

одиниці кожної продукції при їх продажу має бути не меншою за прибуток під її продажу Сi, тобто

a ₁₁y₁+a₂₂y₂+…+a_m1y_m≥ C₁

a₁₂y₂+a₂₂y₂+…+a_m2y_m ≥ C₂ (6.40)

_{…………………………………………………}

a_1ny₂+a_2ny₂+…+a_mny_m ≥ C₂

при додатконому обмеженні y_j ≥0.

Часто ціни С₁, С₂, ..., С_n на товари, що виготовляються, називають "зовнішніми цінами", а при перепродажу ресурсів іншому власникові (у₁, у₂, ..., у_m) називають "тіньовими" цінами або оцінками існуючих ресурсів (маргінальні оцінки).

Я к і перша задача, задача в постановці (6.39) з урахуванням (6.40) підноситься до задач ЛП, але замість максимуму L в цій задачі шукається мінімум L₁ .Слід відзначити, що розмірність задачі також змінюється (було хj (j = l,n) змінних, стало yj (j = l,m) змінних). Змінюється також кількість обмежень (було m, стало n), колишні обмеження bj (j = l,m) зараз грають роль обсягів продажу в цільовій функції L₁; колишня матриця коефіцієнтів обмежень транспонувалась в матрицю обмежень ; нерівності типу "≤" змінились на нерівності типу "≥". Обидві задачі, що є задачами ЛП, мають бути застосовані в залежності від потреб, при цьому одна з задач є прямою задачею (іноді - початковою), друга - двоїстою задачею ЛП, причому будь-яка з них може розглядатись як пряма, тоді протилежна їй буде двоїстою задачею ЛП. Правило переходу від прямої до двоїстої задачі ЛП є наступним.

1. Якщо пряма задача шукає максимум, то двоїста має шукати мінімум цільової функції.

2. Коефіцієнти при змінних цільової функції є вільними членами, а вільні члени обмежень - коефіцієнтами цільової функції другої задачі.

3. Обмеження у вигляді нерівностей при максимізації слід привести до типу "≤", потім їх замінити на обмеження типу "≥" в двоїстій задачі мінімізації L₁.

4. Необхідно транспонувати матрицю коефіцієнтів системи обмежень, таким чином кількість нерівностей в системі обмежень прямої задачі буде співпадати з кількістю змінних в двоїстій та навпаки.

5. Умови позитивності змінних залишаються в обох задачах. Наприклад:

Скласти двоїсту задачу ЛП для наступної початкової задачі ЛП (n=2, m=4).

L=-x₁+2x₂→мах (6.41)

П ри обмеженнях

2x₁-x₂≥1

- x₁+4 x₂≤24 x₁≥0

x₁- x₂≤3 x₂≥0 (6.42)

x₁+ x₂≥5

Складаємо двоїсту задачу ЛП:

1) Так як початкова задача на максимізацію, то приводимо її обмеження до типу "≤".

- 2x₁+x₂≤-1

-x₁+4 x₂≤24

x₁- x₂≤3 (6.43)

-x₁- x₂≤-5

3. Трансформуємо цільову функцію

L’= -y₁+24y₂+3y₃-5y₄→min (6.44)

при обмеженнях:

- 2y₁ - y₂+ y₃ - y₄≥-1

y₁+₄ y₂ – y₃ – y₄≥2 (6.45)

при y₁ ≥0; y₂≥0; y₃≥0; y₄≥0;

П риводимо отриману систему обмежень знову до стандартної форми ЗЗЛП, щоб забезпечити її рішення симплекс-методом:

-2 y₁+ y₂– y₃ + y₄ + y₅ =1

y₁+4 y₂– y₃– y₄ – y₆ =2 (6.46)

п ри y₁≥0 (j =1,6)

Введенням додаткових змінних у₅ і у₆ двоїста задача ЛП приведена до ЗЗЛП, що вирішується симплекс-методом. Відзначимо також, що в разі, коли обмеження прямої задачі ЛП задані у вигляді строгих рівнянь, то складена до неї двоїста задача ЛП зветься несиметричною (на відміну від симетричної, що складається при обмеженнях-нерівностях). Особливістю несиметричної двоїстої задачі є можливість отримання

y₁ (j = l,n) як додатніх (y_j≥0), так і від'ємних (y_j <0), тобто при цьому вимога y_j ≥0

для двоїстої задачі не має місця.

Відмітимо деякі співвідношення прямої та двоїстої задач ЛП (без доведення):

1. Якщо Х_д=( х₁;х₂;...;х_n) і У_д =( y₁;у₂;...;у_m) - будь-яка

спряжена пара допустимих рішень, то С^ТХ_Д ≤В^TУ_Д (де СiВ- вектори коефіцієнтів відповідних цільових функцій), тобто при будь-якому рішенні Хд значення цільових функцій двоїстої задачі (L') ніколи не перевищують відповідних значень прямої задачі (L). Як наслідок, можна стверджувати, що при L = L' отримані рішення прямої задачі Х_о і двоїстої Y_o є оптимальними.

З економічної точки зору L = L' означає, що прибуток від продажу продукції за цінами Cj (j = l,n) дорівнює витратам на ресурси за тіньовими цінами у_j (j = l,m), тобто власникові ресурсів однаково, продавати товари після їх виготовлення, чи торгувати ресурсами за оптимальними цінами Y_o.

2. Якщо в оптимальному рішенні двоїстої задачі обмеження є строгими нерівностями, то оптимальне значення рішення відповідної прямої задачі має дорівнювати завжди нулю.

Дамо економічну інтерпретацію цієї властивості. Оскільки y_j

(j=1,m) тлумачаться як ціни відповідних ресурсів на виробництво xj, то це j-те обмеження означає нерентабельність його власного виробництва, тому в прямій задачі цей вид продукції має дорівнювати НУЛЮ.

3. Між оптимальними рішеннями прямої та двоїстої задач існує завжди наступна взаємозалежність:

(6.47)

при максималізації прямої задачі та

(6.48)

при мінімалізації прямої задачі.

В формулах (6.47) і (6.48) та – відповідні значення індексних (нижніх) рядів фінальних симплекс-таблиць рішень прямої та двоїстої задач.