6.2 Зальна задача лінійного програмування (ззлп)

Загальна задача ЛП (ЗЗЛП) характеризується наявністю цільової функції виду (6.1) при обмеженнях у вигляді системи m точних рівнянь типу (6.2), записаних у розгорнутій формі:

(6.8)

Відмітимо можливість рішення ЗЗЛП або як пошук , що забезпечує , або можливо також здійснювати пошук , що забезпечує . При цьому, як відомо, чисельні значення залишаються незмінними.

Домовимось називати допустимим рішенням ЗЗЛП будь-яку сукупність , що задовольняють систему рівнянь-обмежень (6.8). Оптимальним є рішення з сукупності допустимих, що задовольняє (або ).

Розглянемо, перш за все, питання про існування допустимих рішень, тобто що система (6.8) може бути розв'язана відносно змінних .

Наведемо деякі умови існування рішень цієї системи [1,2]. Введемо деякі визначення.

Матриця системи (МС) складається з коефіцієнтів рівнянь (6.8), розширена матриця (РМС) доповнюється ще стовпчиком вільних членів:

;

Ранг матриці (R_M) - це найбільший порядок відмінного від нуля визначника, що можливо отримати шляхом закреслення в матриці деяких рядків та стовпчиків.

В лінійній алгебрі доводиться, що для існування рішень системи рівнянь-обмежень (6.8) необхідно і достатньо, щоб R_MC. = R_PMС. Тільки при цьому існує (існують) рішення системи (6.8), тобто допустимі рішення

ЗЗЛП. Кажуть також, що ця система рівнянь є сумісною. Як приклад розглянемо систему рівнянь-обмежень виду:

Для цієї системи:

;

Визначаємо R_MC, який не повинен перевищувати числа рівнянь (m=3) або числа змінних (n=4), тобто R_MC min {m,n}.

Починаємо з перевірки визначників 3-го порядку

; ; ,

Тобто R_MC <3

Перевіряємо визначники 2-го порядку.

, що означає, що R_MC=2 і немає потреби перевіряти рештк можливих визначників 2-го порядку.

Знаходимо R_РМС який також не повинен перевищувати 3-х.

; ; ;

, тобто R_РМС<3.

Перевіряємо визначники 2-го порядку

, що означає, що R_МС=2.

У результаті дослідження визначників МС і РМС маємо загальний ранг системи R_MС =2. Це означає, що система рівнянь-обмежень має тільки два будь-яких незалежних рівняння-обмеження, тобто одне з трьох рівнянь має бути відкинуте як зайве. Дійсно, третє рівняння с лінійною комбінацією двох перших: Р_івн3 = (Р_івн2 2)+Р_івн!, тому воно має бути підкинуте.

Узагальнюючи сказане, можна стверджувати, що , де m - кількість незалежних рівнянь-обмежень, n - кількість змінних, що оптимізуються.

Розглянемо ще один дуже важливий аспект проблеми ЛП: умов існування значної кількості допустимих рішень, серед яких треба шукати оптимальне.

1. Якщо m = n і R_c =n, то система рівнянь-обмежень має лише одне рішення, що задовольняє систему (6.8). В цьому випадку отримане рішення буде допустимим і оптимальним одночасно, про пошук якогось іншого, кращого рішення не варто і казати.

2. Якщо m < n (де m - кількість незалежних рівнянь-обмежень) і R_с. = m, то система має безмежну кількість допустимих рішень, серед яких треба шукати оптимальне.

В цьому випадку (n - R_c) змінних звуться вільними, а решта R_c = m - базовими змінними. На практиці вільні змінні прирівнюються до нуля і визначаються базові змінні згідно (6.8). Пошук оптимального рішення, що забезпечує мінімум цільової функції, здійснюється шляхом послідовного оновлення складу базового рішення за рахунок вільних змінних з послідуючим розрахунком поточного значення L. Склад m базових змінних та їх значення, що відповідають та задовольняють (6.8), визначають оптимальне рішення. Вищесказане дозволяє зробити важливий практичний висновок: пошук оптимального рішення ЗЗЛП можливий, якщо m < n, де m - кількість незалежних рівнянь-обмежень (при умові R_MC=R_PMC=R_C=m).

Задача лінійного програмування з обмеженнями у вигляді нерівностей (ЗЛПН).

У випадку, коли обмеження (6.2) задані у вигляді нерівностей, тобто ми маємо ЗЛПН, її необхідно трансформувати в ЗЗЛП шляхом введення штучних змінних, що відображають по суті величину нерівності між правою та лівою частинами обмеження.

Наприклад, обмеження (6.2) задані в розгорнутій формі:

(6.9)

Введемо додаткові змінні, які дозволяють задовольнити рівняння. В цьому випадку будемо мати:

(6.10)

або в матричній формі

AX+EX_Д=В (6.11)

де ; ; E – одинична діагональна матриця;

X_Д= ; ; Т – символ транспортування.

Зрозуміло, що в цьому випадку цільова функція матиме вигляд:

(6.12)

Тобто ЗЛНП зведена таким чином до ЗЗЛП зі збільшенням тільки розміру системи обмежень-рівнянь на m додаткових змінних.

Відмітимо також, що немає ніяких обмежень на знак нерівностей в (6.9). Слід тільки завжди мати на увазі, що після введення додаткових змінних (у випадку нерівностей типу " " вони вводяться в рівняння зі знаком "мінус"), остаточно коефіцієнти правої частини b_i (і = 1, m) мають бути завжди позитивними. Теж саме стосується також випадку, коли маємо нерівності обох типів. Для забезпечення позитивності відповідне рівняння просто множиться на "-1".

Наприклад маємо ЗЗЛП:

мінімізувати

при обмеженнях

Необхідно її трансформувати в еквівалентну ЗЗЛП. Користуючись викладеними вище правилами, перетворюємо ЗЛНП в ЗЗЛП наступним чином:

при обмеженнях

(6.15)

Таким чином, при обмеженнях (6.2) будь-якого типу в відповідні нерівності вводяться додаткові змінні (у даному випадку це Х₆, Х₇, X₈, X₉) з метою перетворення їх в рівняння, в цільовій функції коефіцієнти додаткових змінних прирівнюються до нуля і розв'язується задача типу ЗЗЛП.