6.8.2 Методи розв'язання задач цп

Серед багатьох методів розв'язання задач ЦП є такі, що є частковими, а також такі, що є більш-менш універсальними. Розглянемо детальніше лише другу групу методів, серед яких найбільш застосовується метод гілок і меж, а також метод відсічень (частіше його називають методом Гоморі).

Метод гілок і меж

Цей метод відноситься до групи методів комбінаторного плану. В його основу покладено метод цілеспрямованого перебору варіантів за наступною схемою (на прикладі максимізації L).

1. Розрахунок найбільшої оцінки L_max;

Розбивання задачі на підмножини на основі однієї змінної;

3. Перерахування L_max( для кожної з підмножин;

4. Вибір підмножин, що відповідає max L_max;

5. Наступне розбивання вибраної підмножини на підмножини по іншій змінній і т.д.

Розглянемо конкретний приклад застосування методу гілок і меж [9]. Максимізувати

L= х,+х_{2 (6.71)}

Робимо розбивання існуючої множини значень х, і х₂ за умови обмежень на х,, що відповідають найближчим цілочисельним значенням х, =1 і х, =2.

перша підмножина

Знову вирішуємо обидві задачі без урахування вимоги цілочисельності. Маємо: - для моделі (6.73)

23. 41,

^Х! ¹ > ^Х2 ~ д > ^L0 ~ д '<

- для моделі (6.74) .,

.7. _10

х, - і , х₂ - ; L_o - .

Як бачимо, отримані рішення не є цілочисельними, тому продовжуємо розбивання на підмножини, починаючи з підмножини (6.74), що забезпечує дещо більше значення L_o (тому що ми шукаємо максимум L). Подальший вибір підмножин здійснюється за схемою, що наведена в таблиці 6.5 до отримання цілочисельного оптимального рішення. В результаті введення можливих обмежень ми отримали два еквівалентних рішення

х,=3; x₂=l;L_max=4 і х, = 2; х₂ = 2; L_max =4.

Зауважимо, що після одержання цілочисельного рішення його необхідно порівняти з початковим, отримане має бути більшим за початкове, тобто

. 10 4>—. З

Такою є загальна схема розв'язання задач ЦП за методом гілок і меж (іноді його називають методом мультигілок). Але, незважаючи на порівняну простоту цього методу, він вимагає великої кількості необхідних ітерацій

Метод відсічень Гоморі

Згідно з цим методом, в систему обмежень на кожній ітерації вводять додаткове обмеження, що забезпечує цілочисельність однієї із імінних. Покажемо основну ідею методу на конкретному прикладі [4].

Наприклад, прийняли рішення збудувати станцію спостереження в деякому важко доступному районі, основними вузлами якої є два типа приладів (1 і 2). З цією метою необхідно спочатку виготовити необхідну кількість цих приладів, транспортувати їх на місце і здійснити монтаж. Операції виготовлення і монтажу здійснюються одною юридичною особою на засадах логістики, транспорт для перевезень необхідно орендувати. Відомі ціни виготовлення і монтажу одного приладу кожного з двох типів, а також ціна перевезення одного приладу кожного типу. Крім цього, відомі також обсяги коштів, що виділені на виготовлення і монтаж всіх приладів. Загальна вартість перевезення підлягає визначенню і, по можливості, мінімізації.

Основні дані зведемо в таблицю 6.6 (в умовних вартісних одиницях).

Таблиця 3.2 Вихідні дані до задачи ЦП

Тип приладу	Вартість (в розрахунку на один прилад)
	Виготовлення	Монтаж	Перевезення
1	6	2	3
2	4	3	16
Відпущені кошти (ум.од.)	13	9	?

Сформулюємо задачу ЦП. Нехай х, - кількість приладів типу 1, х₂ - теж саме типу 2. Тоді повна вартість їх транспортування складатиме Зх, +і6*₂.Вона має включати в себе, по-перше, плату за оренду деякої кількості ТЗ (z), по-друге, накладні витрати, незалежні від обсягів перевезень.

Нехай оренда одного ТЗ складає 12 варт.од, накладні витрати 7 варт.од., тоді можна стверджувати, що 12z + 7 = 3x,+16x₂ (тобто передбачено використання тих самих ТЗ для транспортування приладів обох типів).

Постає задача: знайти х, і х₂, що забезпечує мінімум кількості ТЗ (z)

Очевидно, що додаток умови х, + х₂ > 1 виключав би тривіальний

випадок х, = 0 і х₂ = 0, але при цьому z = , що автоматично виключає

цей тривіальний випадок (z має бути > 0 і цілим числом).

Для рішення застосовуємо традиційний симплекс-метод, здійснюючи перехід до ЗЗЛП шляхом введення додаткових змінних в нерівності

На першому етапі вирішуємо цю задачу ЛП при ігноруванні умови цілочисельності. Отримане симплекс-методом оптимальне рішення є

Оскільки умови цілочисельності і невід'ємності х, і z не забезпечені, робимо другий етап рішення.

На другому етапі, прирівнявши х, =ш, і х₂ =м₂ (вільні змінні) аналізуємо наступну систему, розв'язану відносно базових змінних.

У подальшому будемо на кожній ітерації забезпечувати цілочисельність однієї зі змінних шляхом введення додаткових обмежень.

На першому етапі забезпечимо (наприклад) цілочисельність z. Це робиться шляхом введення в відповідне рівняння додаткової змінної х₅, тобто

В цьому рівнянні, щоб забезпечити цілочисельне і невід'ємне z = 0, необхідно забезпечити

7 1 4 х₅=-—+ -со,+-со₂, (6.80)

яке при підстановці забезпечує z = 0 при будь-яких значеннях со, і со₂.

Тоді вже досліджується нова задача ЛП виду (з урахуванням (6.80) і

со, = х, і со₂ = х₂):

Очевидно, що в цій задачі вже неможливо прийняти за вільні змінні х, і х₂, так як при х, = 0 і х₂ = 0 матиме х, = < 0.

Зауважимо, що завжди, коли вводяться нові обмеження, вільні змінні старого базису мають бути змінені. Розв'язавши знову задачу (6.81) при вільних змінних х₃ і х₅ маємо нове оптимальне рішення

_ 45 _ 1 _ . _ 129 . _'

^Х|=ЇІ^{; Х2 =} 28^{; Хз= 4=}ЇЇ2^{; Х5 =}

Прийнявши, як і раніше, вільні змінні х₃ = со₃ і х₅ = со₅, аналізуємо нове рішення, розв'язане відносно базових змінних

Зауважимо по ходу рішення, що забезпечення цілочисельності z дещо погіршило результат оптимального рішення (раніше мали z_mm = —-,

зараз маємо z_min = 0).

На наступному етапі забезпечимо цілочисельність (наприклад) х₂ шляхом введення в відповідне рівняння системи (6.82) додаткової змінної

Найближчим цілочисельним значенням х₂ є 0, але це протирічить умові х₂ Ф 0, тому приймаємо

що забезпечує х₂ ■ 1 при будь яких со₃ і со₅.

З урахуванням нового обмеження (6.84) чергова постановка задачі ЛП матиме вигляд:

Розв'язуємо цю задачу симплекс-методом і отримуємо (при х, = 0 і

х₆ = 0 - вільні змінні)

_,._,._ _3. _ _3

^Х2 — * ' ^Хз - J > ^Х4 — - > ^Х5 ~ Т

Поки що деякі компоненти оптимального рішення не є цілочисельними, тому продовжуємо процедуру рішення. Для цього розглядаємо систему (при х, = ш, і х₆ = со₆ )

Вирішуючи цю задачу з застосуванням симплекс-методу, маємо (при ч„=0; х₇=0):

х, = 1 х₂ = 1; х₃ = 1; х₄ = 1; х₅ = 1; z = 1,

що є оптимальним при умові забезпечення цілочисельності змінних і цільової функції.

Таким чином, загальні транспортні витрати на перевезення одиниці приладів кожного типу на одному арендованому ТЗ складатимуть S = 3 ■ х, +16-х₂ = 19 варт.од.

Слід відзначити, що в деякій літературі (наприклад, в [7]), пропонується дещо інший засіб визначення додаткових обмежень.

Суттєвість цього методу полягає в наступному. Замість введення додаткової змінної з тими ж самими коефіцієнтами впливу вільних змінних (наприклад 6.80; 6.84; 6.87), в [7] пропонується формувати нове обмеження за допомогою формули:

{3i}-K_m+i,}x_m+,---{a_in}x_n+x_n+l<0 (6.89)

де символ { } означає взяття лише дрібної частини відповідного числа. Наприклад, для додатного числа а = 2- його дрібна частина

{а} = а-[а] = 2—2 = -, де [а] = 2 є його цілою частиною. Навпаки, для від'ємного а = -2-, користуючись цією формулою, матиме [а] = - 3, а

{а} = а-[а] = -2І-(-3) = ^.

Згідно з вказаним, застосування (6.89) для нашого випадку забезпечило б, наприклад, замість (6.80) рівняння виду

х, = — + -co. + -co, (6.90)

⁵ 12 4 ' 3 ²

і тоді відповідне (третє) рівняння в системі (6.81) мало б вигляд

~х, +-х, -х, =— (6.91)

4 ' 3 ^{2 5} 12 ^V

У подальшому процесі вирішення задачі ЦП вже необхідно було б використовувати це обмеження, але хід рішення і його кінцевий результат не змінюються