Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Тема6.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
879.1 Кб
Скачать

6.8.1 Приклади задач цп

Однією з перших задач ЦП стосовно вирішення проблем транспорту, була задача про транспортне обслуговування школярів, розглянута в дисертації французького математика Е. Юргона [9], суть якої полягає в наступному.

В невеликому містечку А є школа, де навчається деяка кількість школярів, що мешкають поза містечком. Вони мають бути доставлені кожного ранку до школи з застосуванням автобусів. Для цього організовані дві автобусні зупинки В і С, причому В знаходиться між А і С. Кількість учнів, що збираються на зупинці С, дорівнює 42, між зупинками В і С дорівнює 6, на зупинці В - 20 учнів і між В і А - 4 учні

АТП, що здійснює ці перевезення, має у своєму розпорядженні лише автобуси двох типів: на 35 місць і на 50 місць. Плата за транспортне обслуговування (ціни проїзду) залежать від відстані (ВА = 3 км; СВ = 5 км; СА = 8 км) та типу автобусу і дорівнюють відповідно (в умовних варт.од.):

Маршрут

Автобус на 35 місць

Автобус на 50 місць

ВА

39

50,5

СА

54

68

СВ

45

57,5

При цьому ціни не є пропорційними відстаням, що обумовлено постійними транспортними витратами (амортизація автобусів), що значно перевищує тарифи на перевезення.

Необхідно визначити, якого типу автобуси слід застосовувати на кожному з відрізків перевезень, щоб загальні транспортні витрати на перевезення, що здійснюються школою з бюджету, були мінімальні. Введемо наступні позначення кількості автобусів:

Маршрут

Автобус на 35 місць

Автобус на 50 місць

ВА

X

х'

СА

У

У'

СВ

Z

z'

З урахуванням прийнятих позначень задача оптимізації буде наступною:

мінімізувати

(6.66)

при обмеженнях:

(6.67)

Всі змінні мають бути цілими числами.

Згідно з (6.67) автобуси кожного з відрізків мають забрати як чекаючих на них учнів, так і тих, хто сяде по дорозі.

Стандартне рішення (при ігноруванні умови цілочисельності) є наступним:

x = 0; y = 0; z = 0; ; ; .

З урахуванням умов цілочисельності:

x = 1; y = 0; z = 0; ; ;

Тобто механічне округлення не дає оптимального результату. Зауважимо також, що як в першому, так і в другому з розглянутих прикладів (як в задачі максимізації, так і в задачі мінімізації), урахування цілочисельності завжди погіршує результат оптимізації (значення Lo).

Іншим прикладом задачі ЦП є задача про призначення транспортних засобів (ТЗ) для виконання тих або інших видів перевезень. Обмежимось лише формулюванням цієї задачі як задачі ЦП.

Нехай є п транспортних засобів хi( (і = 1,п), що мають бути призначені для виконання п перевезень уj, (j = l,n). При цьому відома вартість виконання j - го перевезення і - м ТЗ, тобто сіj>0 (і=1,n, j = 1,n). Деякі з с^ можуть призначатися дуже великими, що означає, що призначення і - го ТЗ для j - го перевезення неможливо (наприклад з міркувань вантажопід'ємності або габаритосмності також). Необхідно так призначити хi, по yj, щоб кожен ТЗi, мав лише один вид перевезень, а мінімальні витрати на реалізацію всіх перевезень були мінімальні. Саме ці вимоги відображаються наступною моделлю:

(6.68)

при

(6.69)

Останнє співвідношення показує, що не одна зі змінних xij не може мати значення, що відрізняються від 0 або 1. Тоді розподіл ТЗi, по видах перевезень yi є матриця, що містить в кожній колонці і рядку лише одну одиницю. Ця одиниця (хij=1) і означатиме призначення ТЗ, для виконання перевезення уі; що автоматично забезпечує перше і друге обмеження системи (6.69)

Дещо схожою з попередньою задачею з формальної постановки є задача комівояжера, що може буди сформульована наступним чином (ця задача була сформульована А.Такером в 1960 році).

Є (n + 1) міст і задана матриця відстаней між ними С = . Від'їжджаючи з початкового міста Ао, комівояжер мусить заїхати в решту міст лише по одному разу і повернутися в Ао. Транзит через місто, що він відвідував вже раніше, заборонено. Необхідно визначити маршрут його пересування, щоб загальна довжина маршруту була мінімальною. Очевидно, що в цій задачі цільова функція залишається у вигляді (6.68), де xij = 1, якщо переїзд здійснюється з Аi, в Аj і хij = 0 в інших випадках, що автоматично забезпечується першими двома обмеженнями системи (6.69). Але останнє обмеження системи (6.69) змінюється і матиме наступний вигляд:

(6.70)

Якщо не розглядати цю вимогу, а тільки дві перші вимоги системи (3.6), то в цьому випадку забезпечується лише одне відвідування кожного з n міст. З урахуванням (6.70) забезпечується також його повернення обов'язково в місто A0. Дійсно, нехай ui, =р, якщо комівояжер відвідує місто Аi, на р - му етапі маршруту. Звідси слідує, що для всіх "і" і "j", таким чином, нерівність (6.70) задовольняється для хij =0. При xij = 1 умова (6.70) виконується як точна рівність . Таким чином (6.70) забезпечує останню гілку маршруту в Ао після відвідування усіх п міст.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]