Количественные методы аншtиза данных в СИ

Факторный анализ.

В пространстве признаков можно решать задачи двух видов:

1. исследование структуры переменных (например, ценностей, мотивов, предпочтений и т.п.);

2. «снижение размерности» - конструирование относительно небольшого количества новых пе­ременных, которые содержали бы в себе основную часть информации из имеющихся перемен­ных (например, построение шкал психологического теста.)

У2

Yl

Два основных подхода к решению задачи снижения размерности:

1. геометрический: преобразовать имеющиеся переменные средствами математики (метод главных компонент - Principal Coтponents);

2. статистический: найти скрытые (латентные) факторы, которые влияют на ответы респонден­тов и, соответственно, на корреляцию между переменными (факторный анапиз=Еааое Anal­ysis).

Модель метода г лавных компонент:

У1 =a11Z1 +a12Z2 + +a1nzn

У2 =a21Z1 +a22Z2 + +a2nZn

Yk = aklz1 + ak2Z2 + ... + aknzn или, в более общем виде:

11

У;= Lauz1' J=I

где z₁ - стандартизированная переменная х₁ , i = 1, k , причем k значительно меньше п.

Коэффициенты alf выбираются таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

1. s² (У;)= А;, где А; - i -тое собственное значение матрицы корреляций для переменных

п

х₁ , ••• , х₁₁, сумма собственных значений L А; = п; i=]

2. s2(Y1)~s2(yJ~ ... ~s2(yk);

3. Переменные у; не коррелируют друг с другом.

Терещенко О .В. Факторный анализ

1

Количественные методы анализа данных в СИ

Модель факторного анализа:

х1

Существуют k скрытых (латентных) факторов (установок, мотивов и т.п.), от которых зависят все ответы респондентов на все вопросы (переменные), поэтому переменные можно предста­вить как линейную комбинацию этих факторов:

Z1 = а11У1 + а21У2 + ··· + ak1Yk

Z2 = а12У1 + а22У2 + ··· + ak2Yk

zп = ak11Y1 + аkпУ2 + ··· + aknyk или, в более общем виде:

k

z1 = IauY;' i=I

где zJ - стандартизированная переменная х J , i = 1, k , причем k значительно меньше п.

Метод главных компонент может работать с количественными, порядковыми и дихотомиче­скими переменными, метод факторного анализа - только с количественными и порядковыми.

Коэффициенты аи называются нагрузками исходных переменных Хр х₂ , ••• , х₁₁ на главные ком­поненты или факторы у₁, у ₂ , ••• ,у k • Результаты метода главных компонент и факторного анализа одинаково представляются и интерпретируются.

р

Терещенко О .В. Факторный анализ

" ·~

__ -- --1 .... - .......•..•. М_ ..1..'t'.&."""".1.IJz..1.цn.1. Ll.UJ. µ_yJU.1\..

-

Yk

h2

Yl

У2

...

}

k

Zl

а11

а21

...

ak1

Iai~

i=I

k

Z2

а12

а22

...

ak2

,La}2

i=I

. ..

. ..

. ..

...

. ..

. ..

k

Zn

aln

а2п

...

akn

,La;~,

i=I

п

k

V;

11

11

...

,La~

,LV;

Ia12

Ia~j

J

J=I

i=I

j 1

j-1

,LV;/п

Vi/п

(Vi + VJ/п

...

tV;/п

tV;/п

2

Количественные методы анализа данных в СИ

Дисперсия переменной является показателем (мерой) ее информативности: чем больше диспер­сия, тем сильнее отличаются друг от друга объекты из выборки, тем больше информации мы получаем о каждом из них (если объекты друг от друга не отличаются, дисперсия равна О, и пе­ременная никакой информации не несет).

Каждая из стандартизированных переменных zpz₂,.",zn, соответствующих исходным пере­менным ХрХ₂,".,хп, имеют дисперсию равную 1. Их суммарная дисперсия (общее количество содержащейся в них информации) равна п.

Сумма квадратов нагрузок по строке j ( h₁ ) называется общностью переменной z ₁ и показыва­ет, какая доля информации из переменной z₁ сохранилась в новых переменных уру₂ ,".,yk.

Сумма квадратов нагрузок по столбцу i ( V;) является дисперсией новой переменной У; и пока­зывает количество содержащейся в ней информации. Сумма дисперсий Vi, V₂ ,"., Vk показывает общую информативность новых переменных у1' у ₂ ,".,у k •