Свойства рядов

Теорема 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то для произвольного числа с ряд (2) тоже сходится, и его сумма равна сS. Если же ряд (1) расходится и с ≠ 0, то и ряд (2) расходится.

Другими словами: сходимость (расходимость) ряда не нарушится, если все его члены умножить на одно и то же отличное от нуля число.

Теорема 2. Если ряды (1) и (3) сходятся и их суммы равны соответственно S₁ и S₃, то и каждый из двух рядов сходится и его сумма равна соответственно S₁ ± S₃.

Другими словами: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Следствие: Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Теорема 3. Если в ряде (1) добавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным. В случае сходимости рассматриваемых рядов их суммы отличаются на сумму отброшенных членов.

Необходимое условие сходимости ряда

Если ряд сходится, то общий член ряда а_n стремится к нулю (т.е. ). Однако, это условие не является достаточным. Например, гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Следствие. Если , то ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Найдем - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами

, (1)

, (2)

Если для любого п, то из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2) и сумма ряда (2) не превосходит суммы ряда (1); из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Т.к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Т.к. , а ряд сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и ведут одинаково в смысле сходимости.

Признак Даламбера

Пусть дан ряд с положительным членами. Если существует предел , то при  < 1 ряд сходится, а при  > 1 – расходится. Если  = 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. . Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Решение. . Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Признак Коши (радикальный признак)

Пусть дан ряд с неотрицательными членами. Если существует предел , то при q<1 ряд сходится, при q>1 ряд расходится, при q=1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Пример 6. Определить сходимость ряда .

Решение. , следовательно, ряд сходится.

Пример 7. Определить сходимость ряда .

Решение. Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю. Найдем .

Таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.