Геометрические приложения двойных интегралов

1) Вычисление площадей в декартовых координатах

y

y = (x)

S

y = f(x)

a b x

Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 4x + 4; x + y – 2 = 0.

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

Практическое занятие №26

Наименование занятия: Решение дифференциальных уравнений

с разделяющимися переменными

Цель занятия: Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
1
2
3
4
5

	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4
5

2. Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих начальным условиям:

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
1	, если х = 1, у = 1	, если х = 0, у = 2	, если х = 0, у = 4
2	если	, если у = 4,	, если х = 0, у=
3	, если у(1) = 3	, если х = 0, у = 1	, если у(1) = 4
4	, если	, если у = 0, х = 0	, если х = 4, у = 7

	Вариант 4	Вариант 5
1	, если , у = 2	если х = 0, у = 5
2	, если ,	если
3	, если у(2) = 0	если у(0) = 5
4	если	, если у(3) = 0

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе

2. Выполнить задания

3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;

2. Выполненное задание;

3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Дать определение дифференциального уравнения первого порядка.

2. Что называется общим решением дифференциального уравнения? Частным решением? Как найти частное решение дифференциального уравнения?

3. В какой последовательности решаются дифференциальные первого порядка с разделяющимися переменными?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные у′, у′′,…

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Символически дифференциальное уравнение первого порядка записывается следующим образом:

F(x, y, y′) = 0 или у′ = f(x, y)

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция у = φ(х), которая обращает данное уравнение в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция у = φ(х,С), зависящая от постоянной С и удовлетворяющая данному уравнению при любом фиксированном значении этой постоянной.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях постоянной.

Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

Теорема Коши (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение (х₀) = у₀, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Теперь интегрируем:

- общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x₀ = 1; y₀ = 2, тогда имеем

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).