5.8. Фильтры второго и высших порядков

5.8.1. Фильтр второго порядка

Примером фильтра второго порядка является фильтр .

Рассматриваем только вещественный случай. Переходя к Z- преобразованию, получим:

. (5.6.9)

Найдя корни многочлена в знаменателе, перепишем

. Это означает, что фильтр есть последовательное соединение двух фильтров первого порядка. Для устойчивости достаточно потребовать, чтобы все корни были по модулю меньше единицы. Это означает, что . Рассмотрим вещественный случай: . Это область под параболой. Условие на модуль первого корня имеет вид . Возводя второе неравенство в квадрат, получим . Для выполнения первого из неравенств достаточно чтобы . Аналогичное рассмотрение условия на второй корень дает . Окончательно, область имеет форму. Для комплексных корней . Кроме того, квадрат модуля корня равен , откуда вытекает, что . Объединяя обе области, получаем треугольник устойчивости.

Другими словами, если точка с координатами попадает внутрь треугольника, соответствующий фильтр будет устойчивым.

5.8.2. Фильтры высших порядков

Предположим, что передаточная функция фильтра имеет вид

,

где в числителе и знаменателе стоят вещественные многочлены, причем имеет степень выше двух. В этом случае имеет место разложение на неприводимые многочлены первой и второй степеней с вещественными коэффициентами, а сам фильтр можно заменить последовательным соединением фильтров. Если и сомножители взаимно простые, то для некоторых многочленов . Отсюда следует, что . Другими словами, фильтр можно представить как параллельное соединение двух фильтров. Построив базисные фильтры второго и первого порядка, можно с их помощью реализовать фильтр любого порядка.

5.8.3. Фильтр Баттерворта

Это один из базисных фильтров. Фильтр низких частот имеет передаточную функцию

, (5.6.10)

Это фильтр порядка М . В зависимости от значений меняются характеристики фильтра. Задача заключается в отыскании вещественных коэффициентов фильтра по заданным параметрам. Будем искать фильтр в виде

.

Передаточная функция имеет вид

.

Положим . Тогда и Должно быть выполнено равенство

.

Слева и справа находятся аналитические функции от z. Если они совпадают на какой-либо линии, они равны всюду, где имеют смысл.

5.8.3.1. Определение параметров фильтра Баттерворта

В левой и правой частях в знаменателе находятся многочлены от переменной z. Найдем корни этих многочленов. Для устойчивости фильтра нужно, чтобы корни находились внутри единичного круга. Для отыскания нулей знаменателя в правой части получим уравнение

,

откуда

,

где - корень степени из -1. Каждое из этих уравнений сводится к квадратному уравнению. Найдем корни этих уравнений и выберем те из них, которые по модулю меньше единицы. Составим произведение

.

Проблема может возникнуть лишь в случае, когда среди корней окажется корень равный по модулю 1. Такая ситуация не возможна, так как в противном случае для некоторого .

Рассмотреть пример для . Для отыскания коэффициента достаточно положить . Тогда .

5.8.4. Фильтр высоких частот

Рассмотрим функцию . Она получена заменой из предыдущей . Это передаточная функция фильтра высоких частот. С другой стороны, из выражения при указанной замене получим . Это означает, что фильтр высоких частот можно получить из фильтра низких частот заменой знака у коэффициентов с нечетными индексами.