Решение ю.И.Соловьева.
В представлен численный метод расчета предельного напряженного состояния грунтового массива. Автор использует гипотезу об образовании жесткого клиновидного ядра под штампом, которое не находится в предельном состоянии. Грани ядра являются огибающими для линий скольжения одного из семейств.
Каноническая система уравнений имеет вид
Решение уравнений ведется на трех участках
В области ABC решается 1-я краевая задача статика сыпучей среды. Решение в этой области дается в замкнутом виде и выражается
;
Линия
скольжения представлены двумя семействами
прямых, наклоненных к оси абсцисс под
углом
В области ACD решается 2-я краевая задача статики сыпучей среды
Решение имеет следующий вид
;
В области ADE решается 3-я краевая задача статики сыпучей среды при известных параметрах на линии 2-го семейства AD и условиях на прямой АЕ.
;
В
области ACDE
решение выполняется методом конечных
разностей. Линии скольжения представлены
двумя семействами кривых, пересекающимися
под углом. Положение точек определяется
условием
в
точке Е.
Сила предельного давления на штамп вычисляется из условия статического равновесия жесткого ядра ОАЕ в вертикальном направлении.
Данный метод также обладает рядом существенных недостатков
1) форма и объем уплотненного ядра считаются постоянными и неизменяемыми в процессе нагружения основания
2) грунт считается невесомым, однородным и изотропным;
3) Вес грунта, расположенного выше подошвы штампа, представлен в виде равномерно-распределенных полубесконечных боковых пригрузок, отрицательно сказывается на точности проводимых расчетов;
4) при расчете не учитывается коэффициент бокового давления грунта;
5) в расчет принимаются только главные напряжения и т.д.
Схема построения линий скольжения в решении Ю.И. Соловьева
Схема расчета основания по Ю.И. Соловьеву
Решение л. Прандтля.
Расчетная схема, предложенная Л. Прандтлем для определения несущей способности основания, сложенного невесомым грунтом с близким к нулю значением угла внутреннего трения, до сих пор является основой для большинства исследований в этой области.
Используются положения, что:
нарушение устойчивости основания происходит вследствие смещения по некоторой поверхности скольжения и выпора массивов грунта, расположенных у боковых граней фундамента. Для случая плоской задачи рассматривают следы поверхности скольжения, называемые линиями скольжения;
т.к. угол внутреннего трения
,
собственный вес грунта можно не принимать
во внимание, т.к. он влияет только на
силы трения, которые в данной схеме не
учитываются.
По схеме Прандтля, линии скольжения обладают симметрией относительно оси фундамента и состоят из трех видов участков:
1)
Прямолинейных (AD
и CD),
наклоненных к горизонтали под углом
.
2) Криволинейных (DE и DE') (отрезков логарифмической спирали).
3) Прямолинейных (EF и E'F'), наклоненных под углом к горизонтали.
Для
грунтов с углом внутреннего трения
значения углов наклона к горизонтали
составляют
и
соответственно.
Согласно расчетной схеме Прандтля, в грунтовом массиве, окружающем фундамент, при приложении к нему критической нагрузки, формируются три области.
Область I состоит из уплотненного под нагрузкой грунта и имеет форму равнобедренного треугольника, основанием которого является подошва фундамента. Она тесно связана с фундаментом и перемещается совместно с ним, разжимая грунт в областях II в стороны. При достижении критической нагрузке грунт в области II теряет свою устойчивость, переходит в пластическое состояние и оказывает давление на грунт в области III. В результате этого давления сплошной массив грунта в области III деформируется и происходит боковой выпор по поверхности скольжения
Рассматривая равновесие массива грунта, для идеально связного грунта Л. Прандтль получил итоговую формулу
где с
– сцепление грунта, h
– глубина приложения волосообразной
нагрузки,
-
объемный вес
грунта.
Для грунта с значение предельной нагрузки можно определить по формуле Прандтля-Рейснера
Недостатки этого метода вполне очевидны:
1) не учитывается собственный вес грунта;
2) Согласно теории предельного равновесия полное исчерпание несущей способности наступает при формировании сплошных областей предельного равновесия. Но как показывают многочисленные эксперименты, в реальности имеет место
3) коэффициент бокового давления не учитывается при вычислении напряжений.